3.4 基本不等式的证明和应用 教案-江苏省启东中学苏教版高中数学必修5

第 7课时：§3.4. 基本不等式的证明和应用 【教学重点与难点】： 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程； 难点：理解基本不等式等号成立条件及 “当且仅当时取等号”的数学内涵 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1. 提问：与哪个大？ 2.基本不等式的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。 二、研探新知 重要不等式 ：一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。 证明: 所以 (注意强调 当且仅当时, ) 注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件； （2） 公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛。 基本不等式：对任意正数、，有当且仅当时等号成立。 证法1：可以将基本不等式2看作是基本不等式1的推论。 由基本不等式1，得 当且仅当时等号成立。即当且仅当时等号成立。 证法2： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当且仅当即时，取“”。 证法3：要证 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，只要证，只要证，只要证 因为最后一个不等式成立，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成立，当且仅当即时，取“”。 证法4：对于正数有， SKIPIF 1 < 0 说明： 把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 上述结论可推广至3个正数。 （1）基本不等式成立的条件是： （2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3） （3）的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径 基本不等式几何意义是：“半径不小于半弦” （4）当且仅当时，取“”的含义：一方面是当时取等号，即 SKIPIF 1 < 0 ；另一方面是仅当时取等号，即 SKIPIF 1 < 0 。 （5）如果，那么（当且仅当时取“”）． （6）如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.平均值定理：设n个正数a1，a2，…，an，记 调和平均 ,  几何平均 ， 算术平均 ， 平方平均 . 4.基本不等式的变形公式： (1) (2) (3) (4) 最值定理：已知 都是正数， ①如果积 是定值 ，那么当 时，和 有最小值 ；②如果和 是定值 ，那么当 时，积 有最大值 ． 证明：∵ ， ∴ ， ①当 EMBED Equation.3 (定值)时， ∴ EMBED Equation.3 ，∵上式当 时取“ ”， ∴当 时有 EMBED Equation.3 ； ②当 (定值)时， ∴ ，∵上式当 时取“ ”∴当 时有 ． 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ①最值的含义（“ ”取最小值，“ ”取最大值）； ②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。 ③函数式中各项必须都是正数; ④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1. （教材p SKIPIF 1 < 0 例1）设为正数，证明下列不等式成立：（1）；（2） 例2. （1）求 EMBED Equation.3 的最值，并求取最值时的 的值。 （2）若上题改成 ，结果将如何？ 例3. （1）求 的最大值，并求取时的 的值。 （2）求 的最大值，并求取最大值时 的值 例4. 若 ，求 的最小值。 例5. (1) 若 ,求的最小值; (2)若 ,求的最大值. [思维拓展1] 求( )的最小值. [思维拓展2] 若 ,y>0,且,求 的最小值. [思维拓展3] 若正数 满足 ，则 的取值范围是 [思维拓展4]设 , ,则 的最大值