第14讲 ：垂径定理及圆周角与圆心角的关系-2021-2022学年九年级数学下册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 第14讲 垂径定理及圆周角和圆心角的关系 【知识导图】 教学过程 一、导入 【教学建议】 垂径定理及圆周角和圆心角的关系是圆中最重要的内容之一，在中考试题中也常出现。在圆中可以融合三角形、四边形的相关知识，可以全面考察学生几何方面的知识和能力，本节在圆这一章的教学中，地位非常重要，在教学中，教师要给学生讲解典型模型，常用辅助线的加法等，增加学生的解题经验。 二、知识讲解 知识点1 垂径定理及其推论 垂径定理及推论 示意图 垂径定理 推论 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧． 如图,是⊙的弦,是⊙的直径,于点,则,=, =． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧． 如图,是⊙的弦,是⊙的直径,,与交于点,,则,=,=． 圆是 图形,它有 对称轴,每一条过 的直线都是它的对称轴． 定理 垂直于弦的直径_____________这条弦,并且平分弦所对的_____________． 推论 推论1 平分弦(不是直径)的直径_________于弦,并且_________弦所对的两条弧． 弦的垂直平分线经过_________,并且平分弦所对的两条弧． 平分弦所对的一条弧的_________垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧． 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧_________． 推论3 过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧,若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项． 知识点2 圆周角定理及其推论 圆周角定理及其推论 示意图 圆周角的定义 圆周角定理 推论1 推论2 顶点在圆上,并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周角． 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半． 在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧长也相等． 半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径． 同一条弧所对的圆周角有 个．如上图,我们可以得到：∠AOB＝ ∠ACB． 三、例题精析 例题1 如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的(即圆心到地面的距离等于半径)，AB＝CD＝20 cm，BD＝200 cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少． 例题2 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,他的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,锯口深一寸,锯道长一尺.问径几何？” 译为：“今有一圆柱形木材埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯木料,锯口深一寸（ED=1寸）,锯道长一尺（AB=1尺=10寸）.问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示,请根据所学知识计算：圆形木材的直径是 （ ） A.13寸 B. 20寸 C.26寸 D. 28寸 例题3 如图，⊙O的半径OA⊥OB，弦AC⊥BD.求证：AD∥BC. 例题4 已知：如图，为的直径，交于点，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 基础 1.如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 2.如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ） A.CM=DM B. C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD 3.如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( ) A、60° B、45° C、30° D、15° 巩固 1.下列命题中正确的有（ ） ①垂直于弦的直径平分这条弦； ②与弦垂直的直线必过圆心； ③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦； ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对