3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦圆周角概念、圆周角定理及其推论，通过复习圆心角引入射门游戏情境，引导学生观察张角特征，建立新旧知识联系，搭建从圆心角到圆周角的学习支架。 此资料以情境化导入激发兴趣，通过小组合作探究圆周角与圆心角的三种位置关系，用分类转化思想证明定理，体现数学思维。典例与分层练习强化应用，培养抽象能力与推理意识，助力学生理解重难点，提升教师教学效率。

九年级下册教案 3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角的关系 教学内容 第1课时 圆周角和圆心角的关系 课时 1 核心素养目标 1.经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程. 2.理解圆周角的概念、了解并证明圆周升定理及其推论. 3.体会分类、归纳等数学思想方法， 知识目标 1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； 2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算． 教学重点 理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理. 教学难点 圆周角和圆心角关系定理的证明. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角. 顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角， 如∠BOC. 在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门 AC 的张角（∠ABC）有关. 问题2 图中的三个张角∠ABC、∠ADC 和∠AEC 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？ 师生活动： 学生各抒己见，谈自己的看法. 预设：顶点在☉O上，角的两边分别与 ☉O 相交. 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 例如：∠ACB. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 做一做 1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由. 知识点二：圆周角定理及其推论 当球员在 B，D，E 处射门时，他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC . 这三个角的大小有什么关系？ 做一做 如图，∠AOB = 80°. （1）请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流. 提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？ （2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系? 师生活动： 学生在小组内交流、汇总，并在全班交流，补充. 教师投影展示学生所发现的几种位置关系，并让其他小组补充. 议一议 改变圆心角∠AOB 的度数，上述结论还成立吗？ 师生活动： 教师引导学生画图发现. 学生画图、观察、测量、猜想 情况一：圆心 O 在∠C 的一边上 (特殊情形) 证明：(1) 圆心 O 在∠C 的一条边上，如图. ∵ ∠AOB 是△AOC 的外角， ∴ ∠AOB = ∠A +∠C. ∵ OA = OC，∴ ∠A =∠C. ∴ ∠AOB = 2∠C， 合作探究 试一试：你能完成另两种情况的证明吗？ 教师提示：能否转化为第一种情况？ 师生活动：学生小组讨论交流圆周角定理推理过程学生代表讲解推理过程： 情况二：圆心 O 在∠C 的内部 情况三：圆心 O 在∠C 的外部 教师总结概括：先特殊，再一般，转化思想。圆心在内部时转化为两个角的和，圆心在外部时转化为两个角的差。 出示圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 给学生一分钟时间体会反思圆周角定理的证明过程 归纳总结 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 想一想 在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ 学生画图、测量、比较、发现、猜想.再试一试，并在小组内交流，归纳总结，最后在全班交流. 师追问：圆上一条弧所对的圆周角能做出几个？ 它们之间有什么关系？ 如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？ 教师总结概括圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等 典例精析 例1 如图，OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径， ∠AOB = 50°， ∠BOC = 70°.求∠ACB 和 ∠BAC 度数. 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导. 3、 当堂练习，巩固所学 1. 判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ） 1. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC = 50°，∠ABC = 47°， 则 ∠AOB = ． 3. 如图，已知圆心角∠AOB = 100°，则圆周角∠ADB = . 4.如图，△ABC 的顶点 A、B、C都在 ⊙O 上，∠C＝30°，AB＝2，则 ⊙O 的半径是 . 设计意图： 从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质. 设计意图： 加强学生对圆周角的理解. 注意顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，两个条件必须同时具备，缺一不可. 设计意图： 通过这种具有探索性与挑战性的活动，培养学生独立思考、合作交流的能力，渗透归纳思想，初步认识圆周角和圆心角这三种位 置关系. 设计意图： 如果直接进行圆周角定理的证明，可能有一定困难。通过圆周角和圆心角关系的探索、讨论、交流，初步认识同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，为下面圆周角定理证明打好桥铺好路。 设计意图：充分给予学生探索与交流的时间和空间，体会将一般情况转化成特殊情况的思维过程，理解添加辅助线的必要性，达到突破难点的目的。 设计意图：通过观察度量、实验操作、图形变换、推理来探索图形的性质，从而让学生学会分析问题和解决问题的方法．另外，尽可能地从教学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，以强化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达． 设计意图：加强学生对圆周角定理推论的理解和运用. 设计意图：通过练习使学生熟练地掌握圆周角与圆心角的关系。让学生了解要找出圆周角与圆心角的关系，就必须找出它们所对的同一条弧。 板书设计 圆周角和圆心角的关系 1．圆周角的概念 2．圆周角定理 3．圆周角定理的推论 课后小结 教学反思 本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等”这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来则相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出. 学科网（北京）股份有限公司 $