第二章 章末归纳提升 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

[知识整合·思维导图] [题型梳理·素养聚焦] [考点一]　数学运算、直观想象——直线的倾斜角与斜率　 [例1]　(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　 ) A．[0，π)　　　　　 B.∪ C. D. ∪ (2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是　________　. [解析]　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α， 又－sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)， 所以0≤θ≤或≤θ＜π. (2) 如图，因为kAP＝＝1， kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)． [答案]　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞) 斜率取值范围的2种求法 数形结 合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图 象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 [考点二]　数学运算、直观想象——直线的方程 　 [例2]　(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程． (2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程． [解析]　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－ (x－1)，即4x＋3y－13＝0. (2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0. 故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0. [答案]　(1)4x＋3y－13＝0　(2)2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0 　求直线方程的方法 (1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程； (2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程． [考点三]　逻辑推理、直观想象——直线方程的综合问题　 [例3]　(1)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为　__________________　. (2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，若0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝　________　. [解析]　(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. (2)直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，故当a＝时，四边形的面积最小． [答案]　(1)x＋2y－4＝0　(2) 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． [考点四]　数学运算、直观想象——两条直线的位置关系　 [例4]　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． [解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0. 即a2－a－b＝0，① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， ∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝. 故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋＝0， l2：(a－1)x＋y＋＝0. ∵原点到l1与l2的距离相等，∴4＝，解得a＝2或a＝. 因此或 直线的位置关系的判断方法及注意点 1．方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程