第2章 19 高考模拟练（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 该同步练习通过“应用实践”与“迁移创新”分层设计，以高考模拟题为载体，构建从基础应用到创新拓展的知识巩固路径，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |应用实践|圆的方程、直线与圆位置关系、最值问题、两圆位置关系|包含单选、多选、填空、解答题，结合几何意义（如距离、斜率）考查运算能力与推理意识，适配单元基础巩固| |迁移创新|新定义“伴随点”“伴随圆”、轨迹方程综合应用|以创新情境整合圆的切线、轨迹等知识，需构建数学模型，发展创新意识与逻辑推理能力，适度提升思维难度|

高考模拟练 应用实践 1.(2026江苏南京金陵中学月考)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的倾斜角的取值范围是　(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(多选题)(2026福建南平松溪月考)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法正确的是(　　) A.y-x的最大值为-2 B.x2+y2的最大值为7+4 C.的最大值为 D.|x|+|y|的最小值为2- 3.(多选题)(2026江苏常州高级中学月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆O:x2+y2=r2(r>0)上恰有3个点到直线x+y+3=0的距离为.设点A(-2,0),B(2,0),N(0,4),点Q是圆O上的任意一点,过点B作BM⊥AQ于M,则下列说法中正确的有(　　) A.r=3 B.点M的轨迹方程为x2+y2=4(x≠2) C.2|QM|+|QA|的最小值为2 D.圆O上存在唯一的点Q,使|QA|+|QN|取得最小值 4.(2025辽宁大连育明高级中学期中)平面直角坐标系中,已知圆O1与圆O2有公共点P(6,3),两圆半径之和为,若两圆均与直线l:y=kx和x轴相切,则直线l的方程为　　　　　　　　.  5.(2026安徽临泉田家炳实验中学月考)已知A={(x,y)|x-1=},B={(x,y)|y=x+b,b∈R}.若A∩B=⌀,则b的取值范围是　　　　.  6.(2026浙江杭州期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆O:x2+y2=1和圆C:(x-4)2+(y-2)2=4. (1)求圆O与圆C的外公切线的长; (2)过圆C上的任一点P作圆O的两条切线,切点分别是A,B. ①设D,求的值; ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围. 迁移创新 7.(创新题·新定义)(2025广东名校联盟期中)定义:P是圆C外一点,若过点P所作的圆C的两条切线PM,PN(M,N为切点)相互垂直,且圆D经过点P,M,N,C,则称P为圆C的“伴随点”,圆D为“C-P伴随圆”.已知O为坐标原点,圆O:x2+y2=26,P为圆O的“伴随点”,圆G为“O-P伴随圆”(M,N为相关切点). (1)求点P所在曲线的方程; (2)已知点P的横坐标为6,且位于第一象限. (i)求圆G的方程; (ii)直线MN与x轴、y轴分别交于点E,F,过点T(0,5)且斜率为k的直线l与圆G有两个不同的交点A,B,若·=,求l的方程. 答案与分层梯度式解析 高考模拟练 1.B　方程x2+y2-4x-4y-10=0可整理为(x-2)2+(y-2)2=(3)2,∴圆心坐标为(2,2),半径为3, 若圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2, 则圆心到直线l的距离应小于或等于,∴≤, 易知b≠0,∴+4×+1≤0, 解得-2-≤≤-2+, 又kl=-, ∴2-≤kl≤2+, 又tan =tan=2-,tan =tan=2+,故直线l的倾斜角的取值范围是. 2.ABD　方程x2+y2-4x+1=0即(x-2)2+y2=3,它表示圆心为(2,0),半径为的圆. 对于A,设y-x=z,(方程y-x=z表示平行直线系,利用直线与已知圆有公共点列不等式,求参数z的取值范围) 则x-y+z=0,由题知直线x-y+z=0与圆(x-2)2+y2=3有公共点,则≤,解得--2≤z≤-2,则z=y-x的最大值为-2,因此A正确; 对于B,设t=,其几何意义为圆(x-2)2+y2=3上的点到原点的距离,则t的最大值为圆心(2,0)到点(0,0)的距离加上半径,即2+,所以x2+y2的最大值为=(2+)2=7+4,因此B正确; 对于C,设k=,的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率 则kx-y=0,由题知直线kx-y=0与圆(x-2)2+y2=3有公共点,则≤,解得-≤k≤,即的最大值为,因此C错误; 对于D,因为(x,y)是圆(x-2)2+y2=3上的点,所以|x|的最小值为2-,|y|的最小值为0,且两个最小值可在点(2-,0)处同时取得,所以|x|+|y|的最小值为2-,因此D正确. 3.AC　对于A,因为圆心O(0,0)到直线x+y+3=0的距离d=, 且圆O:x2+y2=r2上恰有3个点到直线x+y+3=0的距离为, 所以r-d=,即r=3, 故A正确; 对于B,由题知BM⊥AM,所以M在以AB为直径的圆上, 所以点M的轨迹方程为x2+y2=4,故B错误; 对于C,设∠QAB=θ,θ∈, 则cos θ=, 在△AOQ中,|OQ|2=|OA|2+|QA|2-2|OA||QA|cos θ, 即9=4+|QA|2-|QA||MA|, 则|MA|=|QA|-, 所以2|QM|+|QA|=2(|QA|-|MA|)+|QA|=3|QA|-2|MA|=3|QA|-2=|QA|+≥2, 当|QA|=,即|QA|=,即|MA|=,cos θ=时取等号,故C正确; 对于D,设在x轴上有一点C(a,0),使|QC|=|QA|,Q(x,y), 所以(x-a)2+y2=[(x+2)2+y2],整理得x2+y2+x=, 又点Q在圆O:x2+y2=9上, 所以解得a=-, 所以C, 则|QA|+|QN|=|QC|+|QN|≤|CN|,当Q,C,N三点共线时取等号, 易得lCN:y=x+4,即8x-9y+36=0,原点到直线lCN的距离d=<3,则lCN与圆O相交, 所以符合题意的点Q有两个,故D错误. 4.答案　y=x 解析　由题意可设圆Oi的方程为+=(i=1,2,ai>0,ri>0), 依题意可得r1+r2=且k>0. 因为两圆均过点P(6,3),所以+=,即-12ai+45-6ri=0①, 设l:y=kx的倾斜角为α,则k=tan α,tan =>0. 令t=tan =,则t>0,ai=.将其代入①式,整理得-(12t+6t2)ri+45t2=0②, 所以r1+r2=12t+6t2=,解得t=或t=-(舍去), 代入②式得-ri+=0,此时Δ=-4×1×=>0,即r1,r2存在,符合题意, 所以k=tan α====, 故直线l的方程为y=x. 5.答案　(-∞,-2)∪(,+∞) 解析　对于集合A,因为=∈[0,],所以x-1∈[0,],即x∈[1,1+], 将x-1=的两边平方并化简,得(x-1)2+(y-1)2=2,其中x∈[1,1+], 所以集合A中的点在以(1,1)为圆心,为半径且x∈[1,1+]的半圆上,记M(1,1). B={(x,y)|y=x+b,b∈R}中的点在一条斜率为1的直线上. 因为A∩B=⌀,所以直线与半圆没有交点,如图, 结合图形可得,当直线过点N(1,1+)时,可得1+=1+b,解得b=; 当直线与半圆相切时,可得=,即b=±2, 结合图形可知,b=2应舍去,即b=-2. 所以若A∩B=⌀,则b的取值范围是(-∞,-2)∪(,+∞). 6.解析　(1)圆C:(x-4)2+(y-2)2=4的圆心为C(4,2),半径r1=2, 圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r2=1, 因为|OC|==2>r1+r2=3,所以两圆外离, 所以外公切线的长为==. (2)设点P(a,b). ①由P在圆C上,得(a-4)2+(b-2)2=4,可得a2+b2=8a+4b-16, 所以|PD|2=+=a2+b2-a-b+=a2+b2-(8a+4b-16)=(a2+b2), 又|PO|2=a2+b2,所以|PO|2=5|PD|2,所以=. ②由题易知A,B在以OP为直径的圆上,其方程为+=,即x2+y2-ax-by=0,记为圆M,所以圆O与圆M的公共弦AB所在直线的方程为ax+by=1, 则圆心C(4,2)到直线AB的距离d=, 由①可得a2+b2=8a+4b-16,即4a+2b=(a2+b2)+8, 所以d==×+, 设t=,则t的几何意义为圆C上一点P到原点的距离,由圆外一点与圆上任意一点距离的最值为圆外一点与圆心间的距离加减半径可知,t∈[2-2,2+2],因为∈[2-2,2+2], 所以由函数f(t)=t+的单调性,得d的最小值为,最大值为×2+2+=, 所以d的取值范围为. 7.解析　(1)因为P为圆O的“伴随点”,所以四边形PMON为正方形, 则|PO|=×=2,所以点P的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆, 故点P所在曲线的方程为x2+y2=52. (2)易得P(6,4). (i)因为四边形PMON为正方形,所以圆心G为PO的中点,即G(3,2),且半径为=,故圆G的方程为(x-3)2+(y-2)2=13. (ii)因为直线MN为圆G与圆O的公共弦所在直线,所以两圆方程作差可得直线MN的方程为3x+2y-13=0. 令y=0,得x=,令x=0,得y=, 所以E,F, 则=×=30. 易知直线l的方程为y=kx+5,代入(x-3)2+(y-2)2=13,整理得(1+k2)x2-6(1-k)x+5=0,则Δ=36(1-k)2-20(1+k2)>0,解得k<或k>. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=, 所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+5)(kx2+5)=(1+k2)x1x2+5k(x1+x2)+25=+30. 由题意可得+30=30,解得k=1(舍去)或k=0. 故l的方程为y=5. 7 学科网（北京）股份有限公司 $