专题07 分段函数的研究-2022年高考数学微专题复习（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题07 分段函数的研究 一、题型选讲 题型一 、分段函数的求值问题 由于分段函数的解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的解析式。 含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响） 例1、（2021·江西南昌市·高三期末（理））已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，其中a为常数，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 变式1、（辽宁省沈阳市2020-2021学年高三联考）函数，则 ______． 变式2、（2021·山东临沂市·高三二模）已知奇函数，则（ ） A． B． C．7 D．11 变式3、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）对于给定正数k，定义，设，对任意和任意恒有，则（ ） A．k的最大值为2 B．k的最小值为2 C．k的最大值为1 D．k的最小值为1 题型二、与分段函数有关的方程或不等式 含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式 例2、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 变式1、（2021·浙江高三期末）已知，则______；若，则______． 变式2、（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3、（2021·山东高三其他模拟）已知，，则方程的解的个数是（ ） A． B． C． D． 题型三、分段函数的单调性 分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。 例3、已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________ 变式1、（2020·河南罗山县教学研究室高三其他（理））已知函数单调递减，则实数的取值范围为_____. 变式2、（2020·全国高三专题练习（理））设函数，则满足的取值范围是______. 题型四 分段函数的定义型问题 本题考查函数的新定义，关键在于抓住函数的定义，把握住间减函数的实质，结合函数的单调性得以解决问题． 例4、（2021·全国高三专题练习）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为（其中a，且），以下对说法正确的是（ ） A．当时，的值域为；当时，的值域为 B．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期 C．为偶函数 D．在实数集的任何区间上都不具有单调性 变式1、（2021·全国高三月考（理））如果函数在区间上和区间上都是减函数，且在上也是减函数，则称是上的间减函数，如是上的间减函数．是即上的间减函数，是上的间减函数，不是上的间减函数，不是上的间减函数．以下四个函数中：①，②，③，④．其中是间减函数的是______（写出所有正确答案的序号）． 1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若,则__________． 2、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知，若，则_______，______； 3、（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知函数，若，那么实数的值是（ ） A．4 B．1 C．2 D．3 4、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 5、（2021·全国高三专题练习）设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时，，其中m∈R.若f()=f()，则m的值是___________. 6、（2021·山东济宁市·高三二模）已知函数，若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 7、（2021·山东高三其他模拟）已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（ ） A． B． C． D． 8、（2021·上海高一（2