高考数学 08 向量题中关于结构式a=xb+yc的考点剖析与应用举例-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

中学生数理代寓数学创新题棍湖 向量题中关于结构式a=xb+yc的 考点剖析与应用举例 ■浙江省湖州中学盛耀建 纵观历年各省市的数学高考试卷,向量知向量的终点共线。取OB中点为M,则OM 识是其中一个重要且频繁的考点,常常以选择 作OH2⊥AM,垂足为H2,因为 题或填空题的形式出现,其考查的方向很多, 本文以其中一种较为常见的向量结构模型a (1-n)a+2b的最小值为1,所以OH2 xb+ye为例,从其考查的知识点为角度进行 剖析,并辅以具体案例,供读者评鉴 于是Rt△AH1M与Rt△OH2M全等, 考点1——向量基本定理 所以AM|=1OM|=11OB1,所以∠OAB 侧!如图1,在△ABC 90,所以a·b=OA·OB=|OA2=4,即 A-1CP是BN上的∥ OA|=2。在Rt△AH1O中,∠H1OA 点,若A一mA+2AC, 30°,即a,b所成角的余弦值为 图1 评注:本题的整体难度较大,而其中(1 则实数m的值为 解析:设BP=kBN,k∈R。因为AP n·这一步的转化 AB十BP=AB十kBN=AB十k(AN一AB)是非常关键的一步,只有借助这一步,并用共 A点+k(1A一AB)=(1-k)A十AC,线向量定理得到三点共线,才能正确画出图 形,从而顺利解答问题 且AP=m1+2xC,由平面向量基本定理 考点3——等和线应用 可知1一k=m,k 例3如图3,在矩形ABCD 1,解得k 中,AB=3.AD=4,M,N分别为 评注:从上述解答过程不难看出,平面向 线段BC,CD上的点,且满足 量基本定理是其关键所在,从题目已知和自己 CM 推导两个角度得到AP的两种表示,从而建立 图3 1,若AC=AM+yAN k与m的两个方程,进而得出实数m的值。 考点2——共线向量定理 则x+y的最小值为 侧2已知a,b是不共线的两个向量 解析:如图4,连接MN交AC于点G 由勾股定理知MN2=CM2+ 若对任意的m,n∈R,a+mb的最小值为 1,(1-n)a+b的最小值为1,若a·b= CM2 4,则a,b所成角的余弦值为 CMr=.CN,即MN=CM·CN 图4 所以点C到直线MN的距离为定 a,OB=b,作AH1⊥OB,垂 值1,此时MN是以点C为圆心,1为半径的 足为H1,因为|a+mb的最 圆的一条切线,AC=xAM+yAN=(x+y) 小值为1,所以AH1=1。因 AM+xAN)。由向量共线定理知 C AG,所以 (1-n)a 解题篇创新题追根溯源 高考数学2021年10月 冲學生表理化 又因为|A y的最小值为 评注:本题的难点主要有两处,第一处是 冬,8(当且仅当b=c时取等号)。故 发现点C到直线MN的距离为定值1,第二 评注:从上述解答过程可以看出,两边作 处是发现x+y=,=,,而第二处正 点积对得出关于x,y的方程组起到了关键 AG AG 作用,而且解答过程也是相当简洁明了 是等和线原理的应用 考点6—建立坐标系 考点4—矢量的分解 侧6已知O是△ABC的外心,∠C 侧4已知P为△ABC内部一点,且45°,若OC=mO+nO(m,n∈R),则 满足PB|=2|PA|=2,∠APB=x,且m+n的取值范围为() PA+3PB+ 0,则S△ABC 解析:由2PA+3PB+ C.[-12,-1) D.(1,/2] 4FC=0→1P方=1p+ 解析:因为O是△ABC的外心,∠ 45°,所以∠AOB=90°,建立如图6所示的平 面直角坐标系,设A(1,0), PC,延长BP交AC于点 图 E,如图5,则易得E为线段 AC的三等分点且靠近C点,P为线段BE的 2x),则OC 等分点且靠近E点,故S△ABP mOA+nOB→(cosa,sina) m(1,0)+n(0,1)=(m, △ABC→S△ABC n- cOS C. 所以m+ 2·1·sin 由a∈ 评注:从上述解答过程可以看出,构造共 线向量定理的结构式是其中的一个关键点 但是之后通过矢量的分解发现点E的位置 也是至关重要的 -1.2),所以m+刀∈[一,1)故选B 考点5——两边作点积 评注:不同于例5的求最大值问题,本题 侧5已知△ABC内接于圆O.且 是求取值范围问题,若仍然采用两边作点积 ∠A=60°,若AO=xAB+yAC(x,y∈R) 的方法,我们会发现,虽然有效,但是理解难 则x+2y的最大值为() 度较大,过程也较为烦琐。从上述解答过程 D.2 来看,坐标系的建立为解题带来了极大的方 便,过程简洁而且浅显易懂,容易掌握。 解析:设△ABC的三个内角A,B,C所对 的边分别为a,b,c。由AO=xAB+yAC,得 以上六个知识点是针对向量问题中出现 AO·AB=xAB2+yAC·AB,AO·AC= 结构模型a=xb+yc时,常见的几个考查内