高考数学 07 漫谈数列求和中的放缩技巧-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

中学生数理代寓数学创新题棍湖 饺数例扩和φ的水缩技巧 ■浙江省湖州市第二中学曹亚奇 我们知道,数列求和的本质是将多项式 的和式化简,其最基本的方法是利用等差、等得4(4 比求和公式化简,此外常见的求和方法还有 倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项 求和法等。而高考中,数列解答题更多地表 解法二:(公比放缩) 现为数列求和的“不等式”形式,必然要用到 各种放缩的技巧。而数列求和放缩的本质是 将不规则、无法直接求和的数列通过放缩变 4”+1+2 成可以求和的数列。其中常见的是放缩形式 2 为“类等差”、“类等比”、“裂项同构”等,此外 f(n) 显然f(n)为单 “求和转通项”、“数学归纳法”也是解决数列 与不等式综合性间题的一个重要方向。下面调递减数列,故f(n)=an(4 我们就高考模拟题中的一些创新题型,追根a a≤3恒成立。又a1 得 溯源,总结方法策略 模型一、类等比放缩 对于通项里含有指数的代数式,可以优 2(-)3 先考虑放缩为等比数列求和。对于求证 a;<M(>a>M类似),我们采用等比 放缩时通常有两个方向。 (1)通项放缩。将a;放缩到b,,其中数 <0,故∑a1<1一得证 列{bn}是一个等比数列(通常b1>0,公比 模型二、类等差放缩 类等差型数列是指数列{an}从第二项起 0<q<1),则∑b 通常 满足an-an1≥d(或an-an-1≤d)。显然 M就是 若精度要求更高,需要从第 对应地可以得到an≥a1+(n-1)d(或an≤ 项,乃至第三项等开始放缩。 a1+(n-1)d);s.≥n2+(a1-4)n (2)公比放缩。当放缩时若容易找到等 或Sn 比数列{b。}的通项,我们亦可以对{an}进行 例2已知正项数列{an}满足a 放缩,即研究 ≤q,故 f(n) an=an-1an+an-1(n≥2),Sn为数列{an 的前n项和,求证:对于任意正整数n,都有 例′设a 4+2,证明 解析 解法一:(通项放缩)由aa4"+24 1+a 解题篇创新题追根溯源 高考数学2021年10月 冲學生表理化 ∑b,,并不一定是a≤b,的必要条件,所以 由“未知”推向的“已知”未必一定是正确的 所以Sn≤ 侧4已知等差数列{an}的公差为2 模型三、裂项求和放缩 前n项和为Sn,且S1,S2,S1成等比数列 裂项相消求和是高考数列考题中较为常 (1)求{an}的通项公式; 规与热门的技巧之一,其本质是构造相邻“同 (2)设正项数列{bn}满足b。=1 构式”的作差形式,通过反复“累加”以达到化 简的目的 求证b1+b2 例3已知数列{an}中,a1=3,a2=5, 解析:(1)令an=2n+k(k为常数),则 其前n项和S。满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2 S1=2+k,S2=6+2k,S4=20+4k。 由S2=S1·S4,解得k=-1,所以an (n≥3)。令b (1)求数列{an}的通项公式; (2)原题即证(b1-1)+(b2-1)+… (2)若f(x)=21,求证:Tn=b1f(1)+ (bn-1) b2f(2)+…+bnf(m)<(n≥1) 解析:(1)Sn—S 即an-an-1=21(n≥3),所以an=(a n=n(n+1),即证∑≤∑a …+22+5=2+1(n≥3) 由(1)知Sn=n2,故b2=1 (n+1)2 检验知,当n=1,2时,结论也成立 故an=2+1(n≥1) ≈1×(+1)2-1,所以只需证cn<d, (2)由(1)知bnf(n) (2”+1)(2+1+1) 即证 (n+1)2 故T,=2[(2+12+)+(2+12 (n+1)2 枚原命题 得证 模型四、分析法(求和转通项) 数列不等式的证明历来是高考数学命题 在证明数列大题时,我们可以应用同向的热点与重点。对同学们的“逻辑推理”与 不等式的可加性达到证明的目的,即要证 数学运算”等核心素养的要求颇高。而不4 同学面对抽象的数列不等式,不能识别其规 ∑a≤∑b,只需证a1≤b。应用此方法可律模型,没有思考的方向,因此只能机械地套 以回避许多数列无法直接求和,或者通过放缩用“数学归纳法”。那么,除了强化“数学归纳 “精度”不好控制的问题。该方法形式上是通过法”,以上四类模型提供的创新性方法与策略 分析法,执果索因,逆向逐步推导原命题的充分可以帮助同学们辨识模型、开阔思维、突破瓶 条件,逻辑上连贯自然。当然,由于∑a≤ 颈,从而洞察题目的本质 (责任编辑王福华)