高考数学 06 小议解三角形题型与解题策略-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

中学生数理代寓数学创新题棍湖 小议解三角形题型与解题第略 ■浙江省吴兴高级中学刘晓东 解三角形是高考必考内容,主要考查同 学们的逻辑推理能力和运算能力。随着高考 的正切公式tan(A+B)=1-1 an atan b,只 的改革,考试的题型也发生了较大的变化,本有灵活运用该公式才能简洁高效地判断其真 文根据近期的模考试题从四个方面来分析解假,即在三角形中的边角基本量的判断上需有 角形问题的题型设置与解题策略,以供同效借助三角公式的运用 学们复习时参考 边角互化”思想的应用 三角形中基本量的判断与计算 侧2在△ABC中,角A,B,C所对 例(多选题)在△ABC中,角A,B,的边分别为 b,c,且 C所对的边分别为a,b,c,给出下列命题,则 (1)若 求角B的 其中正确的命题为() A.若A>B>C,则sinA>sinB>sinC (2)若c=2b,当角B最大时,求△ABC 若a=40,b=20,B=25°,则满足条件的周长。 的△ABC有两个 C.若0<tanA·tanB<1,则△ABC是 解析:(1)由正弦定理得 钝角三角形 D.存在角A,B,C,使得 tan atan B 所以( tanC<tanA+tanB+tanC成立 即c2+a2-b2=ac,所以2 ZC COS B=ac,即 解析:若A>B>C,则a>b>c,由正弦 因为0<B<π,所以B ,则sinA> (2)在△ABC中,b2=a2+c2-2 accos B, sinB>sinC,所以选项A正确;若a=40,b c=2b,a=2,所以cosB 20,B=25°,则40sin25°≤40sin30°=20 因此满足条件的△ABC有两个,所以选项B2.3③3 当且仅当b 时取等 正确;若0<tanA·tanB<1.则-tanC tan A+tan B 号。因为0<B<π,当角B最大时,B= tan(a+b) A tan B 0,所以 因为 b,所以sinC=2 tanC<0,因为C∈(0,x),所以C∈(,x), 0<C<x,所以C=,所以c=2、、,故 即△ABC是钝角三角形,所以选项C正确 △ABC的周长为23+2 当C≠时,tanC=tan(A+B)= 评注:本题考查利用正弦或余弦定理解 tan A+tan B 三角形,边角互化等,考查运算求解能力,属 i-tan atan b, p tan Atan Btan C 于基础题。第(1)问解答的关键在于根据边 tanA+tanB+tanC,所以选项D错误。故 先AB 角互化得到 ,再用a=2代换整 评注:本题前两个选项需要利用正弦定理理得c2+a2-b2=ac;第(2)问解答的关键 并结合三角形的基本性质作出准确判断,后而于由余弦定理并结合基本不等式求解。求三 两个选项判断的关键是要能够灵活利用和角角形周长或面积的最值也是一种常见类型 解题篇创新题追根溯源 高考数学2021年10月 冲學生表理化 主要方法有两类:①找到边之间的关系,利用不计),送餐过程一路畅通。若小李送餐骑行 基本不等式求最值;②利用正弦定理,转化为的平均速度为20km/h,请你帮小李设计出 关于某个角的函数,利用函数思想求最值 所有送餐路径(比如:AB→BD→DB→BC), 三、数学文化展现数学学科的博大精深并计算各种送餐路径的路程,然后选择一条 例3克罗狄斯·托勒密所著的《天文最快送达的送餐路径,并计算出最短送餐时 集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下 间为多少分钟。(各数值保留3位小数) 定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小 参考数据:2≈1.414,/3≈1.732。 于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角 解析:在△BCD中,由正弦定理可知 互补时取等号。根据以上材 BD 料,完成下题:如图1,半圆O sin/ bdc=sin∠BCD,即sin305=sin45 BD 的直径为2,A为直径延长线 解得BC=2。由 sin∠ CBD sin∠BCD 上的一点,OA=2,B为半圆 上一点,以AB为一边作正 图1 解得CD=1+3 △ABC,则当线段OC的长取最大值时 在△ABD中,由余弦定理可知 cos∠ABD= AB2+BD2-AD即cos120 2AB·BD 解析:因为OB·AC+OA·BC≥OC· AB2+4-1 解得AB=2或-4(舍去)。 AB,且△ABC为等边三角形,OB=1,OA 2,所以OB+O≥OC,所以OC≤3,所以 ①若送餐路径为AB→BD→DB→BC OC的最大值为3,取等号时∠OBC+∠OAC则总路程为6+/2≈7.414(km) 180°,所以cos∠OBC+cos∠OAC=0。不 ②若送餐路径为AD→DB→BC,则总 +4-9 路程为2/3+2+2≈6.878(km) 妨设AB=x,则 ③若送餐路径