高考数学 05 三角函数题型及解题策略探析-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

中学生数理代寓数学创新题湖 k三函数题到及解题蹄探折费 ■浙江省湖州市菱湖中学吴凯 三角函数的题型在高考中是必考题,设 例2已知函数f(x)=3· 问多变且常考常新,不仅要求考生具备扎实 的基础知识,而且需要良好的思维能力。本 +2)+cos(2x+ π)的图 文结合有关模拟题对三角函数的题型及解题像关于y轴对称,则φ的值为( 策略做一些归纳整理,为高考备考提供参考。 重视基础,着眼定义 基本概念和基本思想方法是学科的基石 解析:因为f(x)=/3sin(2x+2)+ 2 高考首要考查的就是对基础知识的掌握情况 做好基础题的复习是考试取得成功的前提 )=2sin(2x+2 2 的图像关 角函数的内容不难,但是知识点较多,因此, 需要全面厘清概念、定义,注意特殊条件下的 y轴对称,即f(x)为偶函数,故里x 合理运用,抓住知识的本质,才能从容解题。 kx+2,k∈2,解得9=2kx+3,k∈Z。因 例已知cos O∈( 为q|<x,所以9=3。故选A 点评:本题考查两角和与差的三角函数、 D 角函数的图像与性质等知识,根据条件可 得函数∫(x)为偶函数,进而求解结论 解析:因为cos0=-25,且0∈( 三、综合运用,展现能力 随着新高考题型的改变,多选题已成为 所以sin0=-25,2∈(-2,0)。cos=考试的重要题型,这些新题型注重对数学知 识的全面考查,需要综合运用所学知识,才能 顺利解题 其中cOs2 0。所以cOs 例3(多选题)由倍角公式cos2x 2cos2x-1,可知cos2,x可以表示为cosx的 <0,两边平方得1+sin0=1 2525·所以 次多项式。一般地,存在一个n(n∈ 故选 点评:本题主要考查二倍角公式的运用,Pn(cosx),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫 注意根据已知条件θ的所属象限,进一步判(P.L. Tschebyscheff)多项式。则下列说法 正确的是() 断其半 的所属象限,从而确定三角函数 直的符号,简单概括为“符号看象限”。 B.当 二、强化思维,注重理解 角函数是一种特殊的函数模型,相比 函数的性质,三角函数的奇偶性、单调性等性 质需要有准确的理解和特殊的处理方式,注 解析:因为cos3x=cos2. rcos T 重思维能力的考查。 sin 2 xsin x=2cos- cos x-. x 解题篇创新题追根溯源 高考数学2021年10月 冲學生表理化 2cos- cos r-2(1- cos r)cos x 利用二倍角和辅助角公式化简得到f(x 4cosx-3cosx,所以P2(t)=4t-3t,即选 β3sin(2x+),利用正弦型函数值域的求解 项A正确;令x 则t=cos 0,则 方法可求得∫(x)的值域,根据[m]的定 cosy,则a0=0,±1,即选项B错误;令x=0 分段讨论可得到y=[∫(x)]的值域。解题 关键是能够通过三角恒等变换和整体对应的 则t=cosx=1,可得a+a1+…+an=1,所方式准确求得正弦型函数的值域。 以a1+a2+…+an=0,1,2,即选项C正确;设 侧5三国时期,吴国数学家赵爽绘制 sin18°=x,则x=cos72°=2cos236°-1 “勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为 2(1-2x2)2-1,将x5一代入,方程成“毕达哥拉斯定理”)。如图1,四 个完全相同的直角三角形和中间 立,即选项D正确。故选ACD。 点评:本题四个选项分别从四个角度来表 的小正方形拼接成一个大正方形, 角a为直角三角形中的一个锐角 述结论,要求考生能对四个选项逐个判断真 若该勾股圆方图中小正方形的面 假,全面考查对题意的理解和应用,属于难题。 积S1与大正方形的面积S2之比为1:25, 四、创新题型,灵活应对 三角函数的创新题型往往可以融合数学则∞o(a+4)=( 文化、平面向量、立体几何、解析几何等知识 2 体现数学知识的交汇,能直接反映出考生的 B 数学学科素养水平。对于此题型,需要找准 解析:如图2,由题意得DC 各知识点之间的联系,等价分析问题的本质。=5EH,因为CE= DCsin a, 侧4已知m∈R,若定义[m表示不DE= DCos a=EC-EH 超过m的最大整数,如[-1.7]=-2,[=1 DCsin Lpc,所以sina 1,[0.6]=0,[1.6]=1。若f(x) Cosa=,则1-2 sin acos a= 2sin 2x+ 3 cos x 则函 数y=[f(x)]的值域为() 即2 esin a cos a=25,所以(sina+cos C.{-1,0,1,2} 因为a∈(o 解析:∫(x)=sin2x+/3cos2x 所以sina+cosa=3,所以cos(a+ 2 sin 2.x+ 2cos 2x=/3