高考数学 04 夯实基础 厚积薄发—平面向量科学备考新指向-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

中学生数理代郑数学科学备车指月 夯实基础厚积薄发 平面向量科学备考新指向 河北省南宫中学李国策霍忠林 平面向量是历年高考试题和各地模拟试题 (AC-AB) 中的必考知识点,试题难度一般是中档偏下,但 是该板块内容涉及的基本概念较多、知识点比A占+2AC,AC=( ×3 较琐碎,因此,同学们对此绝不能“掉以轻心”。 策略一、定义法 3×2×2=-4,解得入 当向量的模和夹角均已知时,通常使用 策略三、坐标法 该策略 该策略是通过建立平面直角坐标系,利 侧!已知正△ABC的 用坐标运算来处理数量积问题。适用于求规 边长为2,D,E分别为边AC, 则的平面图形(比如正多边形、直角三角形、 B的中点,则B,C的值 矩形等)中向量的数量积问题。 例3在矩形ABCD中,AB 解析:如图1,由正三角形 BC=2,E为BC的中点,点F在边CD上 的性质容易得|BD 若AB·AF=2,则AE·BF的值为 /3,BD与CE的夹角为,由向量数量积的 解析:如图3.以A为坐标原点,建立平 定义得BD·CE=3·③c02x3 面直角坐标系,则A(0,0), B(2,0),C(2,2),D(0,2) 策略二、基底向量法 E(2,1)。设F(x,2)(0≤x≤ 由平面向量基本定理知:平面内任何一 2),则AF=(x,2)。故AB 个向量均可用该平面的一组基底向量来表 AF=/2x=2,即x=1,所以 图 示。因此,我们可以用平面的一组基底来表 BF=(1-,2)。因为AE=(,1),所以 示所求向量,从而解决问题。一般情况,所选 的基底向量是模和夹角均已知的向量 AE·BF=(1-2)×2+2×1=/2 例2如图2,在△ABC中,A=3 策略四、投影法 利用投影法求向量数量积时,一般是让 AB=3, AC=2,1 BD=2DC, AE=AAC 动”向量往“定”向量方向上作投影 AB(A∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为 例4已知P是半径为1的圆O上的 解析:AD=AB+BD 动点,若该圆的弦AB=/3 则AP·AB的取值范围为 AB+-BCEABT-CAC 解析:如图4所示,过圆 AB B C.AB 心O作平行于AB的直线交 图 圆O于C,D两点,分别过C, AC=3×2×cos=3 D两点作直线AB的垂线,垂足分别是M, D.AE ABAC N。显然当点P位于D点时,AP cOs∠PAB=AN|最大,此时AP·AB 知识篇科学备考新指向 高考数学2021年10月 冲學生表理化 AN|·|AB 策略六、对角线向量定理 如图7,在四边形ABCD中,AC·BD 点P位于C点时,AP|cos∠PAB AD|2+|BC|2-|AB|2-|CD AM|最小,此时AP·AB AM I (对角线向 3。所以AP 量定理)。 证明:如图7,在△ABC中 AB的取值范围为 由余弦定理的向量式得CA 评注:本题若采用前三种策略难度均较C方=CA2+C方-A方 大,此时另辟蹊径运用投影法,则能简化计 在△ACD中,由余弦定理 图7 算,提高解题效率。在运用投影法解题时,选的向量式得CA·CD 妤投影轴是解决问题的关键所在。 ICA+CDI2-AD 策略五、极化恒等式 由4a·b=(a+b)2-(a-b)2得a·b 所以AC·BD=CA·(CB一CD)= 1·CB D 该式子称为极化恒等式 AD+BC AB 如图5,在△ABC中,D 为边BC的中点,则BA·BC 该定理表明四边形的两条对角线对应的 BD-(2C),该恒 向量的数量积可用四条边的长度表示。从上 述的证明过程不难知道:该定理不仅适用于 等式具有明显的特征:等式左 平面向量,还适用于空间向量 图5 边是共起点的两个向量的数 例6如图8,在四边形ABCD中,若 量积,等式右边是两个长度的平方差。该式AB⊥BC,AD⊥DC,且|AB 子的精妙之处在于建立了向量与几何长度 a,|AD|=b,则AC·BD 之间的桥梁,实现了向量与几何、代数的巧妙 例5如图6,在 △ABC中,D为BC的中 点,E,F是AD上的两个 三等分点,若BA·CA=4, 解析:由对角线向量定理得AC·B」 1,则BE AD+BC AB 图6 CE的值为 b2+|BC|2-a2-CD|2 解析:设CD|=m,DF|=n,则由极化 恒等式得BA·CA=AB·AC=9n2-m2 b2+(AC|2-a2)-a2-(|AC|2-b2) 4,BF·CF=FB·FC=n2-m2=-1。所 b2-a2。故选A。 。故BE·CE=EB·EC 总之,同学们在平面向量的复习备考过 程中,不仅要重视数学概念的学习,还要注重 对解题方法的归纳,将学到的解题策略不断 评注:求“共起点”的两个向量的数量积地琢磨、反思、内化、吸收、运用。只有这样才 时,可考虑使用极化恒等式来处理