高考数学 03 抓住本质重理解 基于素养活应用—数列科学备考新指向-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

知识篇科学备考新指向 高考数学2021年10月 冲學生表理化 抓住小质重理每军 丁索养活应用 数列科学备考新指向 ■河南省扶沟县第二高级中学陈立争 新课标明确指出,数列是一类特殊的函 是等差数列 数,因而函数问题的处理方法在数列中同样 适用,同时,数列又有其自身的特点,具有独 (2)因为a1=1 1,由(1)得 特的递推关系,在许多问题的处理上又有其 独特之处。尽管各地高考命题情况不尽 1+(n-1)×2=2n-1,所以 致,但在近几年的高考中,数列问题常常以 道解答题或两道小题(选择或填空)的方式进 当n≥2时,an=S 行考查。就考查内容来说,主要有等差、等比 数列的概念、通项公式、中项公式、求和公式、 (2n-1)(2n-3) 基本量的计算、基本性质的应用、数列的整体 当n=1时,a1=2≠1,与已知矛盾 运算、数列求和、数列与传统文化或其他知识 故数列{an}的通项公式为an= 的交汇等。就能力来看,主要是在基于理解 的基础上考查同学们灵活应用的能力。从数 2n-1)(2n-35,1=2 学素养上看,主要是对数学抽象、数学建模 直观想象、逻辑推理、数学运算等方面的 考向二、数列求和 数列求和在高考中既可以小题的形式考 查,也可以解答题的形式来考查,属于中等难 考向一、等差、等比数列的判断与证明 等差、等比数列的判断与证明常常以解 度试题。公式法、错位相减法、裂项相消法等 答题的形式出现,属于中等难度试题。一般 经常出现,同学们在复习备考时要在掌握基 本方法的基础上灵活应用。 情况下,等差、等比数列的证明要利用等差 等比数列的定义去做,而等差、等比数列的判 1.公式法求和 断可依据定义、中项公式、通项公式或者前n 例2已知等比数列{an},a1=1,a1= 项和的表达式的特点来判断 8,且aa2+a2a:+…+a,an+1<k,则k的 例已知数列(an}的前n项和为S 取值范围为 且满足a1=1,an+2SnSn-1=0(n≥2) (1)求证:数列{s}是等差数列 (2)求数列{a。}的通项公 解析:(1)因为当n≥2时,有a。=S 解析:设等比数列{an}的公比为q,因为 。又因为an+2SnSn-1=0,所以Sn Sn-1+2SSn-1=0 1=1,a=8,所以q=8,解得q=2 因为Sn≠0,两边同除以SSn1,得 2=0,即 =2(≥2),故数列 中学生数理代郑数学科学备车指月 所以a1a2+a2a3 2Sn+3中,令n=1,可得 故 3an(n∈N).即 3,所以 数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列 随着n无限增大,左式可无限趋近于3) 通项公式为 因为a1a2+a2a3+…+anan+1<k,所以 (2)由(1)知,b k≥。,即k的取值范围为/2 (an-1)(an+1-1) 2.错位相减法求和 (3-1)(3+1-1)2(3-13+ 例了设数列{a。}是公比不为1的等 比数列,a1为a2,a3的等差中项。 (1)求数列{an}的公比 2 (2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和。 解析:(1)设数列{an}的公比为q,因为 考向三、数列通项的求法 a1为a2,a3的等差中项,所以2a1=a2+a3 由S。的表达式求通项a。时要抓好三个 环节:(1)先利用a1=S1求出a1。(2)用n-1 a1≠0,所以q2+q-2=0,因为q≠1,所以 替换S。中的n得到一个新的关系式,利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时a (2)设数列{nan}的前n项和为Sn,因为 的表达式。(3)对n=1时的结果进行检验,看 a1=1,an=(-2)1,所以Sn=1×1+2× 是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则用 个式子表达;若不符合,则分n=1与n≥2 2S,=1×(-2)+2×(-2)2+3× 两段来写。由an与S。的关系式求通项an (n-1)(-2)-1+n(-2)”。② 时.一般常用n-1替换an和S。中的n得到 ①一②得35,=1+(-2)+(-2)2+…+ 一个新的关系式,再利用an=Sn-S-1(n≥2) (-2) 便可得到n≥2时的递推关系式,再作进一步 处理即可。除此之外,还有一些常用方法,简 1-(1+3n)(-2) 要介绍如下 累加法求通项公式 例5已知数列{an}满足a1=1,an 评注:本题考查等比数列的通项公式中基 本量的计算、等差中项的性质,以及错位相减法 (n∈N),则 求和,考查运算求解能力,属于中档偏易试题 解析:因为an+1=an+-2,所以an+ 3.裂项法求和 例4已知数列(an}中,a1=3,前n项a= 所以 和S。满足 2Sn+3(n∈N (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn 1)(an+1 求数列 以上各式累加可得 {bn}的前n项和