高考数学 01 三角函数的图像与性质的备考新指向-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

知识篇科学备考新指向 高考数学2021年10月 冲學生表理化 三角函数的图像与性质的备考新指向 ■河南省商丘市实验中学马春林 三角函数是高考的重点也是难点,其在 (三)五点作图法 高中数学中占有重要的地位,也有着非常厂 以f(x)=Asin(ox+9)(A>0,o≥0) 泛的应用,三角函数的图像和性质更是重中为例。 之重。现笔者把三角函数的图像和性质做个 (1)利用“五点法”作函数y=Asin(ox+ 小结,希望对大家的复习备考能有所帮助 φ)的图像时,要先令“ax+g”这一个整体依 基础知识回顾和小结 次取O,2,x,2,2x,再求出x的值,这样才 (一)三角函数的图像与性质的重要结论 能得到确定图像的五个关键点,而不能先确 (1)函数y=sinx,x∈[0,2]的五个关 定x的值,后求“ax+q”的值。 键点是(0,0) (2)已知f(x)=Asin(ax+g)(A>0 (2x,0)。函数y=cosx,x∈[0,2x]的五个0>0)的部分图像求其解析式时,可按以下规 聿来确定A,o,φ。 关键点是(0,1) ①由函数图像上的最大值、最小值来确 (2丌,1)。 定|A|。 (2)对于函数y=sinx,y=cosx,y ②由函数图像的对称轴和对称中心确定 tanx,在求解的过程中务必把x的系数转化 T,再由公式T 成正数 (3)对于函数y=tanx,不能认为在其定 (3)求出离原点最近的右侧图像上升(或 义域上为增函数,而是在每个区间 下降)的“零点”横坐标x。,则令ax0+g=0 (或x0+g=π),即可求出 kx+)(k∈Z)内为增函数 二、应用与举例 (4)对于函数y=sinx,y=cosx,y= 若将函数f(x)=2/3sin(x-x) tanx,在求解的过程中务必标注上k∈Z。 的图像向左平移 (二)三角函数图像变换(以y=sinx为例) (1)相位变换:函数y=inx的图像g(g>0)个单位长度后图像关于点 向左平移φ个单位长度 函数y=sin(x+g)的图像。心对称,则g的值可能为( (2)周期变换:函数y=sinx的图像 所有点的横坐标变为原来的一倍 函数y= sIn ().t 从坐标不变 解:f(x)=2/3sin(π-x)sin(x+2)+ 的图像 2sin2x 所有点的纵坐标变为原来的A倍 inx的图像3sm2x-os2x=2sin(2x-6 函数 横坐标不变 将函数f(x)的图像向左平移g(g>0 的图像 个单位长度,可得函数g(x)=f(x+g) (4)上下平移:函数y=sinx的图像 向上平移h个单位长度 函数y=sinx+h的图像。 图像 中学生数理代郑数学科学备车指月 由函数(x)的图像关于点(x,)中心对周期的闭区间上的简图 (2)说明该函数的图像是由y=sinx 称,可得4(3)0即2s(2×平+2-)=(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换 得到的。 0,即si(2+2y)=0,即cs2g=0,所以2 解:(1)先列表,如表1,后描点,如图2。 表1 十A(k∈Z),当 时 所以g的值可能为 2函数f(x)=sin(-2x+x)的单调递 33333 减区间为 (2)有两种 解:已知函数为y=-smn(2x-3),欲方法:①把 求函数f(x)的单调递区间,只需求y=smx的图像上利亨 i(2x-3)的单调递增区间。 所有点向左平移 图2 个单位长度 由2kx 2kx+(k∈ 再把所得图像的点的横坐标伸长到原来的2 ),可得kπ一≤x≤kx+(k∈Z) 倍纵坐标不变)得到y=sn(2x+)的 故所求函数f(x)的单调递减区间为图像 kπ12 ②把y=sinx的图像上所有点的横坐 小结:求三角函数的单调性的基本思 标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到 是把以x+9看作一个整体。另外,一定要先y=sin2x的图像,然后把所得图像上所有 把ω转化为正数。 3.求函数f(x)=1 g cosa+/25-x的的点向左平移个单位长度,得到y 定义域 sin . r π)的 解:由题意可知x应满足不等式组 图像。 cos x>>O. cos x>>0 即 作出y=cosx 小结:(1)五点法作图,用“五点法”作 5≤x≤5, 的图像,如图1所示 y=Asin(ax+g)的简图,主要是通过变量代 换,设=0x+9,由取0,2,丌,2,2x来 标,描点后得出图像;五点法作简图要取好五 个关键点,注意曲线凸凹方向 (2)图像的变换法,由函数y=sinx的 由图1中的阴影部分知x∈图像通过变换得到y=Asin(ax+g)的图 像,图像变换时的伸缩、平移总是针对自变量 x而言,而不是看角ax+g的变化。如先伸 已知函数y=sin(x+x 缩再平移时,要把x前面的系数提取出来。 (责任编辑王福华) (1)利用“五