高考数学 17 浅谈数列的几个定理的应用探究-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

址周芹中学生理化 浅谈数列的几个定平的应用探究y ■贵州省晴隆民族中学岑春静 在高考中,求数列的通项公 因为S=41(1-9),所以a1 所以 n与Sn的关系是热点,数列的综合应用是 考试的难点,对等差数列及等比数列的概念 的理解是我们在学习过程中难以掌握的客观 问题,关于数列的复习我们可从教材入手进 推论2:在等比数列{an}中,其前n项和 行归纳总结。下面我们就关于数列的几个定为S,则Sn,S3-Sn,.S3。-S。成公比为q 理进行探究与应用。 的等比数列 定理1:在等差数列{an}中,其前n项和 证明:设Sn=a1+a2+……+an=A,则 为Sn,则有Sn+=Sm+Sn+md(m,n∈N)S2-Sn=an+1+an+2+….+a2=a1q”+ (d为公差常数)。 a2q"t.tan q"=Aq", San- S,n=anti H 证明:由等差数列{an}的性质知,Sm+n=2 Aq2。所以 即S Sm+(a1+md)+(a2+md)+…+(an+ md)=Sn+Sn+mnd。 S2n-Sn,S3n-S2,成公比为q"的等比数列 例!在等差数列{an}中,若S2=4,s 例3了已知等比数列{an}的前n项和为 20,则该数列的公差d为 S,并且s=9,则 解析:由定理1得S=S2+S2+2×2× d=20,解得d 推论1:在等差数列{an}中,S,S20-S 解析:设等比数列{an}的公比为q,则由 S3n-S2构成公差为n2d的等差数列 推论2知,S3S6-S3,S。-S6成公比为 证明:在Sm+n=Sm+Sn+md中,令m n,得S2n=2Sn+n2d,S2n-Sn=Sn+n2d;令 的等比数列,故S6-S3=q2S3,即1 得S3n=S2n+Sn+2n2d。所以S 所以 3,解得 S2n-Sn,S3-S2构成公差为n2d的等差数列 q 定理2:在等比数列{an}中,其前n项和 为Sn,则有 q"Sn(m,n∈N,q为q 公比常数) 证明:若q=1,则Sm+n=(m+n)a1 定理3:在等差数列{an}中,其前n项和 若q≠1,则Sn+=Sn+an+1+am+2+…+为Sn,则有SS +q"Sn=ma1+na1等式成立。 an+n=Sn+qm(a1+a2+…+an)=Sn+q"Sn。 证明:因为Sn=na 例2设正项等比数列{an}的前n项和s S8=17,求数列{an}的前n项和 同理 解析:由定理2知Sm+。=Sm+q"Sn( ∈N)。由S8=S4+S4q,即17=1+1× q4,得q1=16,由题意知q>0,所以q=2。又 侧4已知等差数列{an}的前n项和为 中学生数理代寓数学经魏率方 S,且2021=2020+1,则an}的公差为 例6已知等差数列{an},bn}的前n项 由定理3得。吗=5m+2021-2020 和分别为S和T,若7=3+1,则1mb 20212020 d(m,n∈N),解得d=2。 定理4:在等差数列{an}中,其前n项和 为Sn,则有 解析:limr=lim 证明:不妨设正整数m>n,则Sm-Sn= 评注:一般地,在等差数列{an}中,当 -n2)(an+ + ≥2时,an=Sn-S (m+n)(a1+ 故对于前n项和分别为S。和T,的两个等差 由等差数列的性质 得an+1+an=a1+am+n,当a1+am+n≠0时,上 数列{an}和{bn},有 定理6:在等比数列{an}中,若m,n,p,q 述两式相除得 ,结论成立 特别地 例5已知等差数列{an}和{b}的前当m+n=2p时,am×a,=a A. 7n-+45 证明:由等比数列的通项公式知 n项和分别为A,和B,且B=n+3,则 满足,为整数的正整数n的个数为( a1q1·a1q1=aq32。由m+n=p+q B.4个C.5个D. 例7已知等比数列{an}的各项均为 解析:由定理4知 1n-72 正数,并且2a1+3a2=1,a3=9a2a6,求数列 n∈N)。由题意知 }的通项公式 解析:设数列{an}的公比为q,因为a3 B n2 所以a3=9a,解得q2 由题意 所以 q 故数列{ 7(2n-1)+457n+19 (2n-1)+3 所以 的通项为 n=1,2,3,5,11,即正整数n的个数为5 评注:一般地,在等差数列{an}中,当n≥ 综上所述,我们对等差及等比数列的几个 定理进行了探究。在高考中数列部分常以选 2时,an=S,-S-1=n-(n-1)=2n=1,故择题、填空题的形式出现,等差数列和等比数 对于前n项和分别为 的两个等差数列的综合应用常与函数、方程、不等式相结合 考查,难度较大,综合性较强。有时候常考查 列{an}和{bn},有 数学建模、数学文化,以及培养考生的核心素 定理5:在等差数列{an}中