高考数学 16 2021年高考平面向量经典问题聚焦-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

解题篇经典题突破方法 高考数学2021年10月 冲學生表理化 201高者平面向量经典问售 ■四川省巴中中学温成芳 2021年高考对平面向量的考查主要以 选择题、填空题的形式出现,其热门考点为平 故a·b+b·c+c·a=-2 面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面 思路2:对向量等式a+b+c=0直接平 向量与其他知识的交汇等。其中对平面向量方处理,将向量问题”转化为“实数问题”。 的数量积及其相关的模长、夹角、垂直等问题 解法2:由a+b+c=0,平方得a2+b2+ 的考查是“重头戏”。 2+2a·b+2b·c+2c·a=02,即|a|2+ 聚焦一、对平面向量数量积的考查 b 2+2(a·b+b·c+c·a)=0, 1.考查两向量的数量积 1,b|= 平面向量的数量积有两种基本计算方b·c+c·a 法:(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定 回味:向量公式a2=a·a=|a|2揭示了 义法求解,即a·b=|a|bcos(a,b〉。运用 “向量问题实数化”的一个重要策略,即通过 定义法时,通常需要借助向量加法、减法运算 及其几何意义进行适当变形,具有一定的技 向量平方(即向量“自乘”),将“向量问题”转 化为“实数问题”。对涉及三个向量的等式问 巧性。(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标 题,是先移项再平方,还是整体直接平方,需 法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 因题施法,灵活处理。 a·b=x1x2+y1y2。运用坐标法时,可直接 2.考查向量的模 利用题设中的点(或向量)的坐标,有时还需 建立平面直角坐标系,设出点的坐标,从而求 若向量a=(x1,y1),则a|= 得向量的坐标。 n=/x+y,这就是向量的模长公式。 侧/(2021年全国新高考Ⅱ卷第1 例2(2021年高考全国甲卷文第13 题)已知 题)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a b+b·c+c:a 思路1:由向量等式a+b+c=0移项得 解析:由题意得|a-b|2=(a-b)2 a+b=-c,平方后,求得数量积a·b。同理a2-2a·b+b2=|a|2-2a·b+|b|2=25 可求得b·c,c·a,则问题迎刃而解。此策 因为|a|=3,a·b=1,所以9-2×1 略妙在通过向量平方(即向量与其自身的数b12=25,解得|b|=3/2 量积,通常称之为向量“自乘”),将陌生的“向 回味:本题考查了平面向量数量积的性 量问题”转化为熟悉的“实数问题” 质、运算和向量的模,属于经典题。其中,“模 解法1:由a十b+c=0,移项得a+b 长问题巧平方”是“向量问题实数化”的重要 c,平方得a2+2a·b+b2=(-c)2,即 体现。 3.考查两向量的位置关系 因为|a|=1,b|=|c|=2,所以a·b= 例3(2021年高考全国甲卷理数第 4题)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c= 由a+b+c=0,移项得b+c=-a,a+a+知b。若a⊥c,则k 思路1:先利用向量的坐标运算法则求 c=—b,平方得b·c= 得向量c的坐标,再利用a⊥c时a·c=0求 中学生数理化寓数学经跳题功 得k的值 2.向量与三角的交汇 解法1:因为a=(3,1),b=(1,0),所以 例5 全国新高考 c=a+kb=(3+k,1) 题,多选)已知O为坐标原点,点P1(cosa 因为a⊥c,所以a·c=3(3+k)+1 sin a), P2(cos B,- sin B), P(cos (atB) 1=0,解得k sin(a+B)),A(1,0),则下列等式成立的为 思路2:由a⊥c,得a·(a+kb) a|2+ka·b=0,再由向量的模长坐标 公式、数量积的坐标公式建立方程,求得 的值 解法2:因为向量a=(3,1),b=(1,0), D.OA·OP1=OP c=a十kb,由a⊥c,得a·(a+kb)=|a 解析:O cos a+sin a=1,OP 32+12+(3×1+1×0)k=10+3k cos2B+(-sinB)2=1,故A正确; 0,解得k 因为AP1=(cosa-1,sina),AP2 cosB-1,-sinB),所以|AP1|= 回味:务必注意将向量垂直与共线的 坐标公式区分开来。若a,b是非零向量,a cos a+1-2cos a+sin a (x1,y1),b=(x2y2),则a⊥b→a·b= AP?=/cos B+1-2cos B+sinB 0÷x1x2+y1y2=0;若 /2-2cosB,则|AP1|,AP2不一定相等 故B错误 繁焦二对平面向量与其他知识交汇的ma0+1)-o(+p),m△B, OA.OP3=(1,0)·(cos(a+B), 考查 (cos a, sin a).(cos B,sin B)=cos a Co