高考数学 14 2021年高考解三角形经典问题聚焦-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

解题篇经典题窦破方法 高考数学2021年10月 冲學生表理化 202年高考解写角形经典向驟焦 ■四川省巴中中学阳辉 解三角形是历年高考的热点与重点,已 经形成比较稳定的命题风格,那就是:“聚焦 解法一:由正弦定理得sinC=imB,即 经典、稳中有变”。 /19 sin c 解得sin 又因为 小题难度多为中档题或简单题,偶尔也 会出现把关压轴题,以考查正弦、余弦定理的 120°,所以0°<C≤60°,所以cosC 基本应用及变式应用为主,与边、角、周长、面 19 ,sin A= sin(B+C)=sin Bcos C+ 积结合较多,考查的核心素养是数学运算。 解答题的考查与数列大题往往交替出 cos Bsin c 现,考查解三角形时,重点体现正弦、余弦定 理的综合应用及变式应用,主要涉及边角关3。由正弦定理得anA=sinB, 系的互化、三角恒等变换、平面向量基本运 算,以及求三角形(四边形)的边、角、面积、周 所以BC/19sinA 9.37 长等问题 /3 近年来,多重选择题、一题两空型填空题 数学文化类小题、探索是否存在性解答题、结故选D 构不良”解答题等创新题型如雨后春笋般地不 解法二:设AB=c,AC=b,BC=a,则B 断涌现,呈现出“稳中有变”的新特点。 120°,b=/19,c=2。由余弦定理得b2= 聚焦一、求边或角最常见,“模式识 2 accos b,即19=a2+4-2·a 别”先判断 2·cos120°,化简得a2+2a-15=0,解得 利用正弦、余弦定理解三角形,通常有五 a=3(a=-5舍去),即BC=3。故选D 种基本类型,如何快速选择恰当的方法呢? 回味:三角形中的诱导公式。在△ABC (1)“已知两角和任一边,求其他两边和中,已知A+B+C=r, 则 角”(俗称“角边角”、角角边”类型),通常①sin(A+B)=snC;:②cos(A+B)=-cosC; 用正弦定理求解 A+B (2)“已知三边,求三个角”与“已知两边 和它们的夹角,求第三边和其他两个角”(俗 A+B A+B CoS 称“边边边”、“边角边”类型),通常用余弦定 理求解 cot (3)“已知两边和其中一边的对角,解三 角形”(俗称“边边角”类型),既可用正弦定理 聚焦二、根据条件求周长,“纯边纯 求解,也可用余弦定理求解 角”本领强 侧!(2021年高考全国甲卷文第8 侧2(2021年高考上海卷第18题) 在△ABC中,已知a=3,b=2 )在△ABC中,已知B=120°,AC=/19 AB=2,则BC= (1)若∠A 求△ABC的面积 (2)若2sinB C=1,求△ABC的 中学生数理代寓数学经魏率方 周长 又因为b=,所以a=22,c=2 解析:(1)由余弦定理得 由余弦定理得cosC 2×2c (2)2+(/2)2-223 2×22×2 2x939/3 (3)由cosC=3 0,C∈(0,x),可知C cxs (2)因为b=2c,由正弦定理得sinB 为锐角 COS 2sinC,又2sinB-sinC=1,所以sinC ,所以sin2C=2 sin ccos 所以sinC<sinB→2 Rsin c<2 Rsin b cos2C=2cos2C-1=2× 4 →c<b→C<B(R为△ABC外接圆的半 径),所以C必为锐角,所以cosC 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcs c cos 2csin 即c2=32+(2c)2-2×3×2cx2 3c2-8/2c+9=0,解得c4/±/5 回味:本题主要考查解三角形的正弦、余 故△ABC的周长为a+b+c=a+3c 弦定理及其变式,以及三角恒等变换中的 倍角公式、两角差的正弦公式,可谓短小精 3+3× 3+42±/5。 悍,余味无穷。 回味:本题破解的关键是将已知条件中 聚焦四、生活处处皆数学、“学以致 的边、角“混合”关系,通过正弦、余弦定理转用”靠自觉 化为“清一色”的纯角(或纯边)关系。 例4(2021年高考全国甲卷理第8 聚焦三、变式应用更方便,“思维模题)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公 板”特关键 布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位 例孑(2021年高考天津卷第16题)m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 。如图1是三角高程测量法的一个示意 b,c。已知sinA;sinB:sinC=2 A,B,C在同一水 2,b=12 平面上的投影A′,B′,C′满足∠A'C′B′= 45°,∠A'BC′=60°。由C点测得B点的仰 (2)求cosC的值; 角为15°,BB与CC的差 为100;由B点测得A点 (3)求sin(2C 的值 的仰角为45°,则A,C两 解析:(1)由正弦定理的“连比变形”,得点到水