08解三角形“易错问题”归类剖析-《中学生数理化》高二数学2021年9月刊

分难增中學生表理化 解三角形“易错问题”归类剖析 ■江苏省无锡市第六高级中学陈敏 ■江苏省无锡市青山高级中学张启兆 在正弦定理和余弦定理的学习中,由于的范围变大 对概念的理解和应用上出现片面化,容易导 易错点2忽视制约条件 致种种思维误区。下面对常见的解三角形 侧2不等边△ABC中,a为最大边, 易错题”进行归类剖析,希望能引起同学们如果a2<b2+c2,那么A的取值范围是 的重视 解:因为a2<b2+c2,所以b2 易错点1忽视三角形的三边关系 b2+ 侧′若△ABC为钝角三角形,三边 长分别为2,3,x,则x的取值范围为 因为0<A<x,所以0<A< 错解:当x为最大边时,由 2×2×3 剖析:本题错误的原因是审题不仔细,忽 视题设“a为最大边”。 0,解得x>/13 正解:因为a2<b2+c2,所以b2+c 当3为最大边时,由2+x220a2>0,cosA=62 2bc>0。因为0 得0<x≤/5。 A<x,所以0<A<2。又因为a为最大边 所以x的取值范围为(0,5)∪(/13, 所以A>,A的取值范围是(,丌)。 剖析:忽视三角形的三边关系,当x为最 大边时,三边长必须满足2+3>x且x>3; 警示:审题要仔细,要学会在解题过程中 反复审题。当解题受阻时,不妨重新读一遍 当3为最大边时,三边长必须满足2+x>3 题目,看看有没有漏看什么条件,想想有什么 隐含条件,再去考虑解题策略 正解:当x为最大边时,设这条边所对的 易错点3忽视三角形的内角和定理 侧3在△ABC中,B=3A,求”的取 角为a,由cosa=2×2×3<0,解得 值范围 2+3>x B 错解:由正弦定理,得亠 当3为最大边时,设这条边所对的角为sin3A sin(A+2A) sin acos 2A+cos a sin 2A B,由{cosB 解得 cos 2A+ 因为0≤cos2A≤1,所以-1≤4cos2A 故x的取值范围为(1,/5)∪(/13,5)。 1≤3。解得0<一≤3。 警示:在求有关参数范围时,不可忽略 剖析:忽视三角形的内角和为180°及隐 角形的三边固有的关系,否则会使某些变量含的A,B,C均为正角这一条件 中学生理化 解题篇易错题分类剖析 高二数学2021年9月 正解:由正弦定理,得 B 警示:在利用正弦定理求角时,由于正弦 a sin A 函数在(0,π)内不严格单调,所以角的个数可 sin 3A 以不唯一,这时应根据三角形中,大边对大 角,注意是一个解还是两个解,可结合图形 sin A 借助已知条件加以检验,务必做到不漏解、不 多解 因为A+B+C=180°,B=3A,所以 易错点5等式变形时随意约去公因式 侧5在△ABC中,若a-b=cosB 0°<A<45°,即一<cOsA<1。 判断△ABC的形状 故≤cos2A<1,1<4cos 错解:由题意知a-b= 由正弦定 sin ccos b- sin ccos a。 枚一的取值范围为(1,3) 故 sin bcos c+ cos Bsir SIn A cos 警示:将目标转化为角A的三角函数 cos Asin c=cos bsin c- sin ccos a 后,忘记隐藏的三角形内角和定理,没有进 则 cos Csin b- sin Acos c=0。① 步缩小角A的范围,造成解题错误。所以考 所以sinB-sinA=0。② 虑问题要全面,应当注意到大前提的约束,所 则sinA=sinB,A=B。 涉及的边、角必须全部满足这些限定,才能从 剖析:①化为②不是等价变形,因式 容面对题目 cOsC可以为零,所以不可轻易约去。 易错点4利用正弦定理求三角形的内 正解:由题意知a-b= ccOs B- CCOs A。 角时漏解 由正弦定理 例4在△ABC -sin ccos b-sin ccos a 中,角A,B,C的对边分 x sin Bcos c+cos Bsin C-sin Acos c 别为a,b,c,若a=4/2,b cos Asin c=cos b sin c-sin ccos a 45°,则 整理得cosC(sinB-sinA)=0 所以sinB-sinA=0或cosC=0。 错解:由正弦定理,得 又A+B+C 0<A<π,0<B<丌, sIn 故B 0<C<丌,故A=B,或C 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形 剖析:本题错误的原因是利用正弦定理 警示:①解决此类问题的基本方法是利 求B时丟了一解。事实上,由snB=2,可用正弦定理或余弦定理,将已知的边角混合 关系式统一成纯边的关系或纯角的关系式, 得B=60°或B=120°。显然,这两个结果都并将关系式的一边化为零,另一边为三角式 符合题意。 的乘积的形式或平方和的形式,或另一边为 正解:由正弦定理,得sinB≈