高考数学 13 2021年高考“三角函数及三角变换”经典问题聚焦-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

中学生数理代寓数学经魏率方 者箭数解经典需 四川省巴中中学肖斌(正高级教师、特级教师) 2021年高考对“三角函数及三角变换”及终边关于坐标轴对称的角之间一般与特殊 的考查,主要体现在四个层面:一是基础性层的数量关系,体现出注重基础、回归原点的命 i,以三角函数的定义、同角三角函数的关题导向。 系、诱导公式等进行;二是工具性层面,以和、 聚焦二、同角三角函数的基本关系及诱 差、倍角公式,升降幂公式,辅助角公式等为导公式 抓手直接或渗透考查;三是应用性层面,以三 侧2(2021年全国新高考Ⅰ卷第6 角函数的图像和性质为“重头戏”,具体涉及 n0(1+sin20) 解析式、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、题)若tan0=-2,则 sin 0-+cos 0 周期性、对称性及图像变换等丰富多彩的核 心内容;四是综合性层面,以三角函数与逻 辑、函数、向量、不等式的交叉结合为主,考查 考生的综合应用与实践创新能力。 in e(1+sin 20) 解析: 聚焦一、任意角、弧度制及三角函数的 sin g-+cos 0 s0) 定义 sin 0+cos 0 sin 0(sin 0-+cos 0) 侧(2021年高考北京卷第14题)若 sin 0-+sin ecos e 0)与 n20+cos 8 Q((+)sn(0+)关于y轴对称、=mb12-4+2-3 写出一个符合题意的0 故选C 分析:根据P,Q在单位圆上且关于y轴 点评:本题考查同角三角函数的基本关 对称,可得角0,0+。的终边关于y轴对称 系,以及正、余弦函数的齐次化切。考查数学 运算和逻辑推理能力 得出关键信息:0+(x 0)=x+2kx,k∈Z 聚焦三、三角恒等变换的运用 问题则迎刃而解。 高考中对三角恒等变换的考查主要体现 解:因为点P(cos,sin0)与点在两个方面:一是以正弦、余弦、正切的和 差、倍角公式,以及辅助角公式、升降幂公式 Q(o(0+5),m(0+)在单位圆上且关的顺用、逆用、变用为抓手的化简求值问 于y轴对称,所以角0,0+的终边关于y 这是高考命题的“主旋律”;二是通过万能公 式、半角公式等,灵活转化为基本公式去处理 轴对称,于是0+6=x-0+2kx,k∈Z,所以的间题,这是高考时不时“露脸”的“冷点”,也 不可不防。 0= kr k∈Z,即满足0=kπ+ 例3(2021年高考全国乙卷文第6 k∈Z的值均可 当k=0时,可取O的一个值为 故答案为 点评:本题考查三角函数的单位圆定义 解析:原式=cos 2 址周芹中学生理化 (2)由题意得y 故 点评:本题考查诱导公式及二倍角公式, 考查的核心素养是数学运算。 sIn. COs . 7 sIn T 聚焦四、三角函数的图像与性质 1.三角函数的最小正周期 12s sin . cos≡/2 sin 2x= 例4(2021年高考全国乙卷文第422x+③ 题)函数f(x)=sint+cos的最小正周期 和最大值分别是( 因为x∈0,x,所 A.3π和/2 所以当2 C.6π和2 D.6x和2 解析:f(x)=厘2(in3c4+cos3n4 时,函数取得最大值为1+ 点评:本题考查辅助角公式、降幂公式、诱 所以函数f(x)的最小正导公 Asin(ωx+φ)的最小正周期及最值等性质。以 周期为T=1=6x,最大值为/2 复合函数的形式呈现,植根基础,不落俗套 3.三角函数的单调性 故选C 点评:本题考查辅助角公式及 侧6(2021年全国新高考I卷第4 Asin(ωx+q)的最小正周期、最值等性质 题)下列区间中,函数f(x)=7sin(x 6 单 2.三角函数的定义域、值域(或最值 调递增的区间是() 侧5(2021年高考浙江卷第18题) 设函数f(x)=sinx+cosx,x∈R (1)求函数 r(x+2) 的最小正 周期; 解析:由题意得一2+2kx<x-x (2)求函数y=f(x)f(x-x)在 +2kx,k∈Z,即一x+2kx<x<2x+ 0,上的最大值 2kx,k∈Z。 解析:(1)由辅助角公式得∫(x)=sinx 当k=0时,得 所以函数 Cos .7 的一个单调递增区间为 所以 结合选项知(o,2)≤( 点评:本题考查三角函数的性质,考查 核心素养是逻辑推理及数学运算。求较为复 杂的三角函数的单调区间时,先化简为y 故所求函数的最小正周期T Asin(ax+g)的形式,再求y=Asin(ax+g) 中学生数理代寓数学经魏率方 的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代 5.三角函数的图像变换 入y=sinx的相应单调区间内即可。为避免 例8(2021年高考全国乙卷理第 出错,通常先把ω化为正数,并注意熟练掌握题)把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标 复合函数单调性判断的“同增异减”法则。 4.三角函