高考数学 12 平面向量易错点归类剖析-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

中学生数理代寓数学影蜡年类部 面向量易错点归类剖析 ■广东省梅县东山中学杨利平 平面向量作为工具性知识模块,在高 易错点二、对单位向量的表示及其应用 考中不单独命制解答题,主要以客观题的很模糊 形式出现。要求同学们做到:①理解和掌 例2(1)已知非零向量a,则向量 握平面向量相关的概念和定理;②准确记 忆公式和结论;③准确运算。近几年高考a的模 的考查以基础题、中档题居多,涉及的知识 (2)与向量(3,4)共线的单位向量为 点有向量的线性运算、平面向量基本定理 求模、向量的平行与垂直、向量的夹角等, A.(55 但备考方面还是应提高训练难度,如建系 解决棘手数量积问题、与解析几何等其他 模块综合考查等。由于平面向量具有代数 和几何两种重要形式,所以平面向量的学 或 习和应用都要注意数形结合的数学思想方 法。本文对平面向量的易错点进行总结 归纳和剖析,希望大家对这些知识能有更 解析:(1)向量na的本质是向量的数乘 清晰准确的认识和理解 易错点一、两个向量夹角的问题 运算,由性质|λa|=|λ|a|可知向量 知向量a=(3,4) t),且a与b的夹角为钝角,则实数t的取值 模为1,向量aa是与a同方向的单位向量 范围为 (2)C。注意:与向量(3,4)的方向相同或 错解:因为a与b的夹角为钝角,所以相反均符合题意 侧3已知A,B,C是平面上三个不共 a·b=-9+4t<0,解得t 线的点,O是平面上的一个定点,动点P满足 错因警示:若两个向量a与b的夹角为 钝角,则有a·b<0;反之,则不成立。特别 AB+AC61)…A∈ 注意向量a与b的夹角为180°时,a·b<0。则动点P的轨迹一定通过△ABC的()。 同理,若两个向量a与b的夹角为锐角,则有 重心B.垂心C.外心D.内心 a·b>0;反之,则不成立。特别注意向量a 错解:选A或B或C。 与b的夹角为0°时,a·b>0 错因警示:因为不清楚 正解:因为a与b的夹角为钝角,所以 BAC的角平分线有关,所以无法正确理解 b=-9+4t<0,解得t< 又当a与b共线且方向相反时,3t+12 式子OP=OA+入 AC/…∈ 0,解得 十∞)的含义而胡乱猜测。 所以实数t的取值范围为(-∞,-4)∪ 正解:由题意可知O-OA=AF LAB JAC )=入AF(点F在∠BAC的 解题篇易错题归类剖析 高考数学2021年10月 中学 生数理代 角平分线上),所以动点P在∠BAC的平分 线上。故答案为D。 易错点三、考虑不全面 错因警示:无法通过平面向量加法的几 侧4已知|AB=8,|AC|=5, 何意义去分析条件中的式子,从而找到点 的位置或坐标。 BC|的取值范围为() 解法一:如图1,取BC的 A.(3,8) B.[3,8] 中点D,连接AD,则PB+PC C.(3,13) D.[3,13] =2PD,所以2PA+2PD=0 错解:在△ABC中,:由两边之和大于第三即+P-0,所以P,A,D 边,两边之差小于第三边”,得到答案C 三点共线,P为AD的中点 错因警示:因为考虑不全面导致错误 因为PA=-P,PE=PD+DB,所以 因为条件中没有说A,B,C三点不共线,所 PA. PB=-PD.(PD+DB)=-PD2 以它们可以共线 因为正△ABC的边长为1,中线AD 正解:由向量减法的三角形法则得到 BC=AC-AB。 ,所以PD= 当A,B,C三点不共线时,在△ABC 所以PA·PB=-PD·(PD+DB) 中,有3<|BC|<13 当AB与AC同向共线时,BC|=3; 故答案为 当AB与AC反向共线时,BC|=13 解法二:坐标法(过程略)。 综上可得,3≤BC≤13。故答案为D。 思路:建系,设点P( ),通过坐标 侧5已知A(0,1),B(3,-1),C(7 运算得到点P的坐标,再根据平面向量数量 5),D(4,7),试判断四边形ABCD的形状 积的坐标运算公式求解即可。 错解:因为AB=(3,-2),DC=(3, 侧7已知△ABC的外心为O,AB 2),所以AB=DC,故四边形ABCD是平2,则AB·AO 行四边形 错因警示:在得到AB=DC后,没有进一步 错因警示:既不懂从三角形的外心是各边 分析AB与DC的夹角,以及它们的模是否相等,的垂直平分线的交点这个知识点切入,从而在 从而因考虑不全面得到一个错误的答案。在判ADO中用向量的线性运算表示出AO,也不 断一个平面多边形的形状时,我们要从边和角懂从特殊图形的角度去分析这道题。 两个角度去考虑,从而得到一个准确的形状 解法一:已知O为△ABC的外心,AB=2 正解:因为AB=(3,-2),DC=(3 如图2,设AB的中点为 2),所以AB=DC,故四边形ABCD是平D,连接OD,则OD⊥AB 行四边形 AO=AB 因为