高考数学 11 数列易错点归类剖析-《中学生数理化》高考数学2021年10月刊

中学生数理代寓数学影蜡年类部 数列易错点归线剖析 ■广东省梅县东山中学刘佳红 数列是每年高考重点考查的内容之一,题 当a≠1时,可得 (2n-1)a-1(n∈ 型有客观题,也有解答题。客观题一般突出 Sn=1+3a+5a2+7a3+… 小、巧、活;解答题一般考查数列的通项与求(2n-3)·a-2+(2n-1)n 和,难度不大。在进入紧张的一轮复习时,分 所以aSn=a+3a2+5a3+7a4 析易错点,避免解题过程中无谓的失分,对于(2n-3)a-1+(2n-1)a 提高熟练运用所学知识分析解决问题的能力 所以Sn-aSn=(1-a)Sn=1+2a+ 有很大的帮助。本文对易错点进行归纳总结, …+2a 2n-1 希望抛砖引玉,有所裨益。 易错点一、知S。求a”时运用公式 Sn-1”不当致误,忽略对n=1 1-a”(2n-1)a"+1 的检验 已知数列{a。}的前n项和Sn与通项a 综上可得,所求数列的前n项和为S。 的关系式,求an时应注意分类讨论的应用, 特别是在利用an=Sn-Sn-1进行转化时,要 (1-a) 注意成立的条件,需要分n=1和n≥2两种 情况进行讨论。 易错点三、错位相减法求前n项和中的 例已知数列{an}的前n项和S 项数问题 用错位相减法求前n项和时应注意两边 2-3,求通项an。 乘以公比后,对应项的幂指数会发生变化 提醒:此题会因为忽略考虑n=1的情 避免出错,应将相同幂指数的项对齐,这样有 况,从而易错解成an=2 一个式子前面空出一项,另外一个式子后面 解析:当n≥2时 就会多出一项,两式相减,除第一项和最后 项外,剩下的n-1项是一个等比数列 1,不适合上式 例3已知bn=3(n+1)·2+1,求数 所以 列{bn}的前n项和T。 2”(n≥2)。 易错点二、等比数列中的公比问题 提醒:用错位相减法求和时容易出现以 下两点错误:(1)两式相减时最后一项因为没 在运用等比数列的求和公式时要注意分 有对应项而忘记变号。(2)对相减后的式子 两种情况q=1和q≠1进行讨论 的结构认识模糊,错把中间的n-1项和当作 例2求数 (2n-1)a”1(a≠0)的前n项和 解析:因为T。=b1+b2+…+b。=3×[2 提醒:此题会因为忽略考虑a=1的情 ×22+3× +(n+1)×2+1,所以2Tn 况,而错解得S 3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2”+2 所以Tn-2Tn Tn=3×[2×22+23+ 解析:当a=1时,Sn=1+3+5+7+ 4(1-2”) (n+1)× (1+2n-1) 2,所以 解题篇易错题归类剖析 高考数学2021年10 冲學生表理化 易错点四、忽略等比数列各项均不为零 提醒:此题易错以为{an}为等差数列,则 例4若数列{an}是等比数列,则数列S,5,5m也为等差数列,所以Sn+S3m 2S2n,因为 所以S A.一定是等比数列 B.一定不是等差数列 解析:设数列{an}的公差为d,则S C.可能是等差数列 D.不可能既是等差数列又是等比数列 提醒:此题会因为忽略考虑当q=-1时a3+…+am+a2m+1+…+a an+an+1=0,数列{an+an+1}不是等比数列 的情况而错选A。 解析:当q=-1时,an+an+1=0,数列 an+an+}不是等比数列,是等差数列,AB 错误;当q=1时,数列{an+an+1}既是等差 数列又是等比数列,BD错误。故选C 所以S。,S2-Sm,S3-S2是公差为 易错点五、求数列最值时数列的定义域m2d的等差数列,所以2(S2m-Sm)=Sm+ 是全体的正整数 S3a-S2m,即2×(90-30)=30+Sam-90,所 忽略数列是特殊的函数,求数列最值时, 其自变量是正整数,图像是一串离散的点。 易错点七、用特殊代替一般证明致错 侧5已知数列{an}的通项an=13 侧7已知数列{an}的首项为1,Sn为 3n,其前n项和为Sn,则Sn的最大值为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中 十2成等差数 提醒:此题易忽略数列的定义域是全体列,求数列{an}的通项公式 (10+13-3n)n 的正整数,由题意得S 提醒:此题易因前3项成等比数列,就认 为数列{an}为等比数列而错解。由题意可知 ,当n=。时,S。的最大 a1+a2=qa1+1,解得{a2=2,因为 529 值为 方法1:由题意得a1=10,所以Sn 所以{an}是一个等比数列,所以 (10+13-3n)n 2-(n∈N)。 解析:由题意得Sn+1=qSn+1,Sn 当n=4时,离二次函数的对称轴最近,qSn+1+1,两式相减得到an+2=qn+1,n≥1。 23×4-3×42 所以S。的最大值为S 由S2=qS1+1得a2=qa1,故an+1=qa 对所