专题11（A基础）空间向量及其应用（补充）-2021-2022学年高二数学秋季班精讲教案（沪教版2020必修第三册）

第11课：空间向量及其应用（补充） 教学目标 1、 理解向量的概念及其运算、空间向量基本定理，包括分解定理和共面定理； 2、 会建立空间坐标系，正确表达空间点、向量坐标及长度角度； 3、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系，并能用向量方法证明. 4、能用向量方法解决夹角和距离等计算问题，了解利用向量方法在研究几何问题中的作用. 重 点 1、能用向量方法证明垂直、平行关系. 2、能用向量方法解决夹角和距离等计算问题. 难 点 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角和距离等计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用. （一）空间向量及其运算 知识梳理 一、空间向量的有关概念 1、类似于平面向量，在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做向量.大小为0的向量称为零向量，记作；大小为1的向量称为单位向量.同向且大小相等的两个向量是相等向量，大小相等方向相反的两个向量互为负向量； 2、向量的大小称为向量的模，即为表示向量的有向线段的长度.向量的模记为. 3、空间向量的和、差、数乘、数量积等运算的定义及其运算律都与平面上的向量的相应概念、运算及其运算律有相同的意义（见下）。 二、空间向量的运算 1、与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法、数乘如下： ；； ：①当时，与同向，大小为； ②当时，；③当时，与反向，大小为； 2、空间向量的数量积 类似可以定义两个空间向量，的夹角，（向量共起点或共终点时所形成的角称为两向量的夹角） 当时称与垂直，记为. 两个空间向量，的数量积 与平面向量类似有下列性质成立： ①； ②；③；④； ⑤. 三、空间向量基本定理 如果三个向量、、不共面，那么对于空间任意向量，存在唯一的实数对满足.由此定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量均可以由、、唯一表示，此时我们称为空间的一个基底，、、都叫做基向量. 【补充】空间向量共面定理： 空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使； 或对空间任一定点，有；或若四点，共面， 则． 例题精讲 【例1】（1）下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（ ） ①在同一条直线上的单位向量都相等； ②只有零向量的模等于0； ③在正方体中，与是相等向量； ④在空间四边形中，与是相反向量； ⑤在三棱柱中，与的模一定相等的向量一共有3个 A．2 B．3 C．4 D．5 【难度】★★ 【答案】A 【解析】②③正确，①④⑤错误 （2）已知是空间的一个基底，若，则（ ） A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底 C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底 【难度】★★ 【答案】C 【解析】假设，即，得， 这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，故选：C. 【例2】为四棱锥的棱的三等分点，且.点在上，，四边形为平行四边形．若四点共面，求实数的值． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】解：如图: 因为为棱的三等分点，且，∴，∴； 又∵点在上，，∴. ∴ , 又因为四点共面，且不共面，所以，解得． 【例3】在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，， （1）试用，，表示向量； （2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的长. 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）依题意，因是的中点，在上，且， 则 ，所以； （2）因，，， 即，则，，， 由(1)知：，所以的长是. 【例4】如图，正四面体的高的中点为，的中点为. （1）求证：，，两两垂直； （2）求. 【难度】★★★ 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】设，，，正四面体的棱长为1， （1）因为 ， ， ， ， 所以 ，所以，即. 同理，，，所以，，两两垂直. （2）， 所以，又， ， 所以，又，所以. 巩固训练 1、有下列四个命题： ①已知和是两个互相垂直的单位向量，23，4，且⊥，则实数k＝6； ②已知正四面体O﹣ABC的棱长为1，则（）•（）＝1； ③已知2，32，37（{，，}为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面． 其中正确命题的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①23，4，且， ，解得，所以①正确． ② ，所以②正确． ③假设向量，，共面，则，所以， ，所以，，，得，， 所以向量，，共面，所以③不正确．即正确的有2个，故选：B． 2、已知为空间任意一点，若，则四点（ ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 【答案】B 【解析】 由空间向量共面定理的推论若，满足，则四点共面， ，而，故四点共面. 故选：B. 3、已知在四面体P﹣ABC中，，，，G∈平面ABC．证明：G为△ABC的重心的充要条件是（）