专题10（A基础）期中复习-2021-2022学年高二数学秋季班精讲教案（沪教版2020必修第三册）

第10课：期中复习 教学目标 1、培养学生空间想象能力判断点、直线、平面位置关系； 2、能熟练求平面图形中角度和长度问题，进而会求空间角和距离问题； 3、掌握简单几何体的体积和表面积公式，会求不规则几何体的体积和表面积； 重 点 1、求角度和距离问题； 2、求几何体体积； 难 点 知识点的综合运用 （一）空间直线与平面 知识梳理 1、空间直线、平面位置关系： （1）两直线位置关系 （2）直线与平面位置关系 （3）平面与平面位置关系 2、直线与平面，平面与平面平行、垂直关系判定定理与性质定理 3、求角度问题：异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角 4、求距离问题：点到平面的距离 例题精讲 【例1】（1）空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（ ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【难度】★★ 【答案】C （2）一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________ 【难度】★★ 【答案】相交或异面 （3）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； A．1 B．2 C．3 D．4 【难度】★★ 【答案】B 【例2】已知是边长为4的正三角形，那么它的平面直观图的面积为_________. 【难度】★★ 【答案】 【解析】如图所示，边长为4的正三角形，可得，， 根据斜二测画法，可得，，所以， 所以平面直观图的面积为.故答案为： 【例3】已知正方体的棱长为2，若，分別是的中点，作出过，，三点的截面，并求出这截面的周长. 【难度】★★★ 【答案】作图答案见解析，周长为. 【解析】 连接，因为面面，所以截面与两平面的交线平行，过点作交于点，连接，同理过点作交于，连接，则五边形即为所求截面， 因为，是的中点，所以，可得， 因为，所以，所以，可得，， ， 因为，所以，所以，， 所以，，， ，， 所以这截面五边形的周长为. 【例4】一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】还原正方体，如图所示， 设正方体棱长为，由题意可得，，则，，， 又在正方体中，，所以或其补角即为异面直线与所成角， .故选：D. 【例5】将边长为1的正方形沿对角线折叠，使得点和的距离为1，则二面角的大小为______. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】设翻折前与相交于点，则，，而翻折之后的图形如图所示， 为二面角的平面角． ，，为等腰直角三角形，且， 二面角的大小为．故答案为：． 【例6】直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设． （1）若，求的值； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）在直三棱柱中，平面，则平面平面， 又平面平面，，故平面，又平面， 故，又，，故平面，又平面，故 因此，，解得 （2）由（1）知，平面，则平面平面，平面平面， 由知，，，又，故 则即为直线与平面所成的角，又，因此 【例7】如图，四边形为矩形，底面，，，. （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成角的大小. 【难度】★★★ 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）因为底面，底面，所以； 由四边形为矩形，可得，又，平面，平面， 所以平面； （2）由（1）平面，则是在平面的射影，且， 所以为直线和平面所成角； 因为，，，所以，，因此，则， 所以直线和平面所成角的大小为. 【例8】长方体中，，点是棱的中点. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点到平面的距离. 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）长方体中，，所以（或其补角）即为异面直线与所成角. 在长方体中，，点是棱的中点，所以 . 在直角三角形中，, 由图示可知：为锐角，所以，即异面直线与所成角为. （2）设点到平面的距离为d，则. 在中，, 所以,所以，所以. 而,所以，解得：. 即点到平面的距离为. 巩固训练 1、“直线l⊥AB，l⊥AC"是“直线l⊥BC”的（ ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件． 【答案】A 【解析】解：若、、三点共线时，由直线l⊥AB，l⊥AC则直线l⊥BC，故充分性成立；由直线l⊥BC，则直线l⊥AB，l⊥AC，故必要性成立； 若、、三点不共线时，则、、三点确定唯一一个平面，由直线l⊥AB，l⊥AC，，平面，所以平面，又平面，所以 ，故充分性成立， 若 ，则无法得到平面，故与