浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题

浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题 选择题部分 一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。 1. 设集合 , 则 （ ） A. B. C. D. 2. 设 ( 为虚数单位), 则 （ ） A. B. C. 3 D. 2 3. 若实数 满足约束条件 （ ） A. B. C. D. 展开式中, 的系数为（ ） A. 20 B. C. 160 D. 5. 函数 的图象可能是（ ） 6. 在 角形 中, "tan "是“ 为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设随机变量 , 若 , 则 （ ） A. B. C. D. 1 8. 对于平面内不共线的四点 , 若存在一组正实数 , 使得 , 则三个角 （ ） A. 都是钝角 B. 至少有两个钝角 C. 恰有两个钝角 D. 至多有两个钝角 9. 若对任意的 , 当 时, 恒有 成立, 则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列 , 数列 满足 恒成立, 则 可能为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分, 单空题每题 4 分, 共 36 分。 11. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 其中有这样一个问题: “今有宛田, 下周三 十步, 径十六步。问为田几何? " 其意思为: “有一块扇形的田, 弧长为 30 步, 其所在圆的直 径为 16 步, 问这块田的面积是多少平方步? " 该问题的答案为平方步。 12. 若 , 则 . 13. 在平面直角坐标系中, , 在 轴正半轴有点 , 则 的最大值为, 此时 . 14. 已知正整数 满足 , 则 的最大值为，最小值为. 15. 已知 为单位向量, 且 , 设向量 与向量 的夹角为 , 则 . 16. 男生甲和女生乙及另外 2 男 2 女共 6 位同学排成一排拍照, 要求男女生相间且甲和乙相邻, 共种不同排法。 17. 函数 的零点个数为, 则 . 三、解答题: 本大题共 5 小题, 共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.（本题满分14分） 设函数=-，（ R） (I) 求 的最大值和对称中心; (II) 为 的导函数, 若 , 求 的值。 19. (本题满分 15 分)如图, 在三棱雉 中, （I）求证: ; (II) 若直线 与平面 成 角, 求 . 20. (本题满分 15 分) 已知数列 , 且满足 。数列 满足 , 数列 的前 项和为 . （I）证明: 数列 为等比数列并求 的通项公式; (II) 求数列 的通项公式. 21. (本题满分 15 分) 已知点 , 直线 的斜率之积为 , 设点 的轨 迹为曲线 。 （I）求曲线 的轨迹方程; (II) 若抛物线 与曲线 交于点 , 设 , 求 面积最大时 的值. 22. (本题满分 15 分）已知 , 直线 为曲线 在 处的切线, 直线 与曲线 相交于点 且 . (I) 求 的取值范围; (II) (1)证明: ; (2)证明: . $2021学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高三年级数学学科参考答案 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 5 6 8 9 10 B D D B 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。 11.120 12 13 ,2√2 14 15. 16.40 17.3, 三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.解: (Ⅰ)y=f2(x)=(sinx-cosx)2=1-2 Sinx cosx=1-sin2x…13分 当x 丌 +k兀,k∈z时,y有最大值2 对称中心为 .7分 (Ⅱ)f'(x)=cosx+sinx, 8分 ∫(x)=2f(x)得cosx+sinx。=2sinx-2cosx,所以tanx=3,……10分 tan -+ ta