1.1.1 空间向量及其线性运算(第2课时)-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

1.1.1　空间向量及其线性运算(第2课时) 素养目标 新知索骥 1．掌握共线向量定理． 2．掌握共面向量定理及推论的应用．(直观想象、逻辑推理) 知识点一　向量共线的充要条件 1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa．我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 知识点二　向量共面的充要条件 1．如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l．如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．可以发现，如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 【微训练】 1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，，则x的值为________．＋＋＝x ．＝1，因此x＝＋　解析：由四点共面的充要条件知，x＋ 2．有下列命题： ①若，则A，B，C，D四点共线；∥ ②若，则A，B，C三点共线；∥ ③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，则a∥b；e2，b＝－e1＋ ④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0． 其中是真命题的序号是________． ②③④　解析：根据共线向量的定义，若＝－4b，所以a∥b，故③正确；易知④也正确．e2＝－4·有公共点A，故②正确；由于a＝4e1－，且∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥ 向量共线的充要条件 【例1】 已知非零向量a，b，且＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)＝－5a＋6b，＝a＋2b， A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D A　解析：因为有公共点A，所以A，B，D三点共线．与．因为∥，所以＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3＋＋＝ 【例2】 如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且．＝，＝ 求证：四边形EFGH是梯形． 证明：因为E，H分别是AB，AD的中点， 所以，＝，＝ 所以|．|≠|||＝且|∥，所以)＝－(＝)＝－(＝＝－＝－＝ 又F不在直线EH上， 所以四边形EFGH是梯形． 1．利用向量共线的充要条件可以证明三点共线或线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． 2．判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合已知图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表示． 1．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________．＝5e1＋4e2，＝e1＋ke2， 1　解析：因为＝7e1＋(k＋6)e2，＋＋＝ 且，＝x共线，所以与 即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2， 故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0． 又因为e1，e2不共线， 所以故k的值为1．解得 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且．求证：E，F，B三点共线．＝，F在对角线A1C上，且＝2 证明：设＝c．＝b，＝a， 因为，＝，＝2 所以．＝，＝ 所以b，＝＝ c，b－a＋)＝－＋()＝－(＝ 所以．c＝b－a－＝－＝ 又，所以E，F，B三点共线．＝b－c，所以b－c＋a＝a－＝－＋＋＝ 向量共面充要条件的应用 探究题1　已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面． 解：设p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c． 因为a，b，c不共面，所以 而此方程组无解，所以p不能用m，n表示， 即p，m，n不共面． 探究题2　如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝AE．BD，AN＝ 求证：向量共面．，， 证明：因为M在BD上，且BM＝．＋＝＝BD，所以 同理．＋＝ 所以＋＋＝ ＝＋＋ ＝．＋＝＋ 又共面．，，不共线，根据向量共面的充要条件可知与 探究题3　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足．＋＋＝ (1)判断三个向量是否共面；，， (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：如图：(1)由已知