(教案)1.1.1 空间向量及其线性运算(第2课时)-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

1.1.1　空间向量及其线性运算(第2课时) 学习任务目标 1．掌握共线向量定理．(数学运算) 2．掌握共面向量定理及推论的应用．(直观想象、逻辑推理) (1)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b.若c与d同向，则实数λ的值为________． 1　解析：由于c与d同向，所以c＝kd(k>0)， 于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]， 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b， 由于a，b不共线，所以有 整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－. 又因为k＞0，所以λ＞0，故λ＝1. (2)已知在△ABC中，D为边BC上的点，且BD＝2DC.若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________. －　解析：如图，过点D作DE∥AC，DF∥AB， 则可得出，＝＝＝， 所以＝，＝. 由四边形法则可得，＝＋＝＋＝m＋n， 所以m＝，n＝，所以m－n＝－. 知识点一　向量共线的充要条件 1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． [微训练] 有下列命题： ①若∥，则A，B，C，D四点共线； ②若∥，则A，B，C三点共线； ③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b； ④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0. 其中是真命题的有__________． ②③④　解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①为假命题；∥且，有公共点A，故②为真命题；由于a＝4e1－e2＝－4·＝－4b，所以a∥b，故③为真命题；易知④也为真命题． 知识点二　向量共面的充要条件 1．如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. [微训练] 若a，b是平面α内的两个向量，则(　　) A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D　解析：当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则与a，b共面的任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确． 向量共线的充要条件 1．已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D A　解析：因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，所以∥.因为与有公共点A，所以A，B，D三点共线． 2．如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形． 证明：因为E，H分别是AB，AD的中点， 所以＝，＝， 所以＝－＝－＝＝(－)＝－＝(－)＝， 所以∥，且||＝||≠||. 又F不在直线EH上， 所以四边形EFGH是梯形． 向量共面的充要条件的应用 对平面内任意两个不共线向量 a，b，由平面向量基本原理可知，这个平面内的任意向量p，可以写成p＝xa＋yb，其中(x，y)是唯一确定的有序实数对． 探究1：若对于两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？ 提示：共面． 探究2：若对于空间中的不共线的向量a，b，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb. 提示：共面． 【例1】已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面． 解：设p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c. 因为a，b，c不共面，所以 而此方程组无解，所以p不能用m，n表示， 即p，m，n不共面． 【例2】如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M