1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

1.4.1.2　空间中直线、平面的平行 素养目标 新知索骥 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系． 2．能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的平行的有关判定定理．(逻辑推理) 知识点一　直线与直线平行 如图，设u1，u2 分别是直线l1，l2的方向向量．则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 知识点二　直线与平面平行 如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． 知识点三　平面与平面平行 如图，设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 【微训练】 1．已知两个不重合的平面α，β的法向量分别为u1＝(1，－1,1)，u2＝(－4,4，－4)，则平面α，β的位置关系为α∥β． 2．若直线l的方向向量a＝(2,2，－2)，平面α的法向量μ＝(－6,8,2)，则直线l与平面α的位置关系是________． l⊂α或l∥α　解析：因为μ·a＝－12＋16－4＝0， 所以μ⊥a，所以l⊂α或l∥α． 利用空间向量判断线线、线面关系 1．已知n为平面α的一个法向量，l为一条直线，则“l⊥n”是“l∥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：当“l⊥n”时，由于l可能在平面α内，所以无法推出“l∥α”． 当“l∥α”时，必有“l⊥n”． 综上所述，“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件．故选B． 2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,1,1)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α或l∥α D．l与α斜交 C　解析：因为a＝(1,0,2)，n＝(－2,1,1)，所以a·n＝1×(－2)＋0×1＋2×1＝0，即l⊂α或l∥α．故选C． 3．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定 A　解析：因为平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，所以v2＝－2v1．所以v1∥v2．所以α∥β．故选A． 利用空间向量证明线线、线面平行关系 【例1】 长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求证：EF∥AC1． 证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E．，F 所以＝(－a，b，c)，，＝ 所以．＝ 又FE与AC1不共线，所以直线EF∥AC1． 【例2】 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．求证：MN∥平面BDE． 证明：如图，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0，2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)． 所以＝(2,0，－2)．＝(0,2,0)， 设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量， 则即 不妨设z＝1，可得n＝(1,0,1)为平面BDE的一个法向量． 又＝(1,2，－1)， 可得·n＝0． 因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE． 1．建立恰当的空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． 2．证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算． 1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4．若在线段AB上存在点D，使得AC1∥平面CDB1，则点D满足(　　) A．AD＝ABAB B．AD＝ C．AD＝ABAB D．AD＝ B　解析：因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2．所以AC⊥BC． 所以在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC，BC，CC1两两垂直，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 所以C(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,4)，＝(0,4,4)． 设点D(x，y,0)(0≤x≤3,0≤