第二讲空间平行与垂直的向量法讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量基本定理、坐标表示与运算及平行垂直证明核心知识点，构建从基底与正交分解到坐标表示，再到加减、数乘、数量积运算，最终应用向量法证明空间位置关系的递进式学习支架。 资料以“知识点梳理-题型示例-举一反三-课后练习”分层设计，通过正方体、三棱柱等几何体实例，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理坐标关系的能力。课中助力教师系统授课，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，强化数学语言表达空间逻辑的素养。

第二讲 空间向量基本定理和坐标运算及平行垂直证明 知识点一 空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得 (2)基底与基向量 如果三个向量不共面,那么所有空间向量组成的集合就是。这个集合可看作由向量生成的,我们把叫作空间的一个基底,都叫作基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 (3)空间向量的正交分解 ①空间向量正交分解的定义:把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解。 ②单位正交基底的定义:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫作单位正交基底,常用表示。 知识点二 空间向量的坐标表示 (1)空间中点的坐标的定义: 在空间直角坐标系中,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,,使。在单位正交基底,下与向量对应的有序实数组,叫作点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫作点的横坐标,叫作点的纵坐标,叫作点的坚坐标。 (2)几个特殊位置的点的坐标 ①在轴上的点的坐标为。②在轴上的点的坐标为。③在轴上的点的坐标为。 ④在平面内的点的坐标为。⑤在平面内的点的坐标为。⑥在平面内的点的坐标为。 知识点三 空间向量的坐标运算科网ZXXK] (1)空间向量的坐标与其端点坐标的关系设,则,。 (2)与空间向量运算有关的坐标表示 设。 名称 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 当时,或, 垂直 向量长度 向量夹 角公式 知识点五 向量法证明空间中的平行与垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则；若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则；若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 题型一空间向量基本定理 例1 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例2 已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m,n共线,则x=　　　　,y=　　　　. 例3 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，满足＝(＋＋). (1) 判断，，是否共面； (2) 判断点M是否在平面ABC内． [举一反三] （多选）1. 给出下列命题,其中正确的有( ) A.空间任意三个向量都可以作为一个基底 B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.A,B,M,N是空间中的四个点,若,,不能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N共面 D.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底 2.（长春外国语学校2024-2025学年第一学期高二年级第一次月考）在棱长为1的正方体中，、、分别在棱、、上，且满足、、，是平面、平面与平面的一个公共点，设，则 ． （多选）3.在棱长为1的正方体中,动点满足,其中,,则（ ） A. B 平面平面 C. 当时，点的轨迹长度为1 D. 存在点，使得 题型二　空间向量坐标运算 例4 若a=(1,λ,2), b=(2,-1,2) , c=(1,4,4),且a,b,c共面,则λ=　　　　.  例5 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积. [举一反三] 1. （荆州中学2024-2025学年高二上学期9月月考）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（多选）已知空间四点，则下列四个结论中正确的是（    ） A． B． C．∥ D．点到平面的距离为 3. 已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若{a,b,c}不能构成空间的一个基底,则实数λ的值为(　　) A.0 B. C.9 D. 题型三　平行垂直的证明 例6 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是(　　) A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行 例7 已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则=　　　　.  例8 如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED. (1)证明:BD1⊥AC; (2)证明:BD1∥平面ACE. [举一反三] 1.在三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在直线B1P上,则下列结论正确的是(　　) A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD B.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD D.不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直 2.如图，在直三棱柱ADE-BCF中，侧面ABFE和侧面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点． (1) 求证：OM∥平面BCF； (2) 求证：平面MDF⊥平面EFCD. [课后练习] 1.（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（       ） A． B． C． D． 2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，＝2，则＝(　　) A. －＋ B. ＋＋ C. －＋－ D. －＋＋ 3． 在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 4．如果三点共线，那么（     ） A． B． C． D． 5．若向量（0，1，﹣1），（1，1，0），且（λ）⊥，则实数λ的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．1 6．已知，，且，则向量与的夹角为（       ） A． B． C． D． 7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，是上底面的边界上一点．若的最小值为，则该正四棱台的体积为（        ） A． B． C． D． 8．已知，若四点共面，则实数为 . 9．已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 。 10．已知长方体中，，空间中存在一动点满足||记，，则(　　) A．存在点使得 B．存在点使得 C．对任意的点有 D．对任意的点有 11.三棱锥中两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足则和所成角余弦值的取值范围是　 12.已知，，且，则________. 13．（多选题）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠A1AB＝∠A1AD，A1C1∩B1D1＝O1，则下列说法正确的(　　) A. 四边形B1BDD1为矩形 B. 1·＝1· C. 1＝＋－1 D. 如果＝＋＋1，那么点M在平面A1BD内 14. 如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD． (1)求证：AE∥平面BCF； (2)求证：CF⊥平面AEF． 15．如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，平面PBC⊥底面ABCD．用向量方法证明： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB． 16. 如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1) 求证：BD⊥AA1. (2) 判断在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $