专题04 圆锥曲线技巧提升篇04——韦达定理联立及弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专项突破

专题04 韦达定理联立及弦长问题 联立与韦达定理 韦达定理是建立参数关系的重要纽带，对于绝大多数圆锥曲线问题，联立都是必不可少的．而在解析几何大题中，椭圆占比最大，还有部分抛物线，至于双曲线，不管在高考还是其他考试中，基本以小题为主，少有大题．由于抛物线形式较为简单，联立计算也更加轻松，优化计算的技巧在直线假设部分已有说明，不再赘述．对于直线与曲线的联立和韦达定理，我们还是以椭圆为主． 那么一般的椭圆和直线联立后是什么情形呢？强烈建议熟记以下内容，这将大大提升圆锥曲线解题速度以及降低计算失误！ 先看正设直线的情形： 联立，消得： ① 判别式 ② 韦达定理 ③ 此外 ④ ⑤ 【注】 ①此式为一般直线与焦点在x轴．上的椭圆联立后的方程，需要熟记，对于焦点在y轴上的，只需把对应的看作即可 ②判别式是一个易忽略的点，这里必须注意，凡是需要用到韦达定理的，联立后一定要写到判别式!但判别式的使用需要依题而议，一般有两种情况：一是已知直线过椭圆内部的点，那么此时直线与椭圆一定有两个交点，联立后直接写“由题，△＞0”即可；二是直线不过椭圆内部的点，那么若与椭圆要有两个交点，则需令判别式为正，此外在一些范围最值问题中，往往也会通过判别式建立k和m的关系，记住判别式的形式后，书面表达“令△＞0，得1即可，因此判别式的形式也需要熟记； ③韦达定理其实无需特意去记，由通式，结合联立后的方程即可得出； ④在一些题型中，难免会出现含有纵坐标的表达，此时便需要通过直线代换，因此建议记忆．记忆方式也不难，分母和韦达定理一样(其实所有形式分母都是)，对于对照可知，只是分子将换成了(分母的一部分)；而对于在椭圆中，y是和b对应的，因此对照可知，分子中括号外的换成了，括号内的换成了(分母中的另一部分)． ⑤两根之差的绝对值相信大家还是不陌生，是弦长表达的老伙计了，由于判别式已经记住，因此根差记住形式即可． 再看反设直线的情形： 联立，消x得：， 判别式，韦达定理， 此外， 上述内容看似繁多，要记忆的内容实则不多，重点是三个：联立后的方程，判别式，根差．由x推y的形式建议最好也能记住，其使用场景也颇多．而对于反设直线消x的情形，不难发现，只是把a和b的位置互换，k换成t而已，类比之也很好记忆．其他形式感兴趣的可自行推导记忆． 而对于直线和双曲线联立的情况，即，和椭圆基本也无差异，看作， 也即将椭圆中的换作即可，但要注意，此时判别式，欲使△＞0，则！ 这里还需要再说说直线和双曲线的位置判断．设直线和双曲线联立后的方程为，当A＝0时，则直线与渐近线平行或垂直，至多一个交点； 当A≠0时，则考虑判别式，当A＞0，则有两个交点；当△＝0时，有且仅有一个交点；当△＜0，则没有交点．此外若要与双曲线的某一支有两个交点，或和左右两支各有一个交点，则在借助韦达定理加以限定． 弦长问题 前面说到根差，不得不说就是弦长了，弦长公式源于两点距离公式： 两点距离公式任何时候都可以使用，而若知道A、B两点所在直线的斜率，只需再知道它们横坐标或纵坐标差值即可求两点距离．对于这两种情形，在后续的题型中都将出现，应懂得灵活应用．当A、B两点都在曲线上时，通常称为弦长公式，根据前面的根差形式，弦长即可表达为： 若是反设直线，则： 特别地，在抛物线中，若直线AB过焦点F，根据抛物线定义，有因此抛物线中过焦点的直线与抛物线相交所得的弦长 焦点在y轴上的情况同理． 此外在圆中，弦长一般用垂径定理加勾股定理求，若圆的半径为r，圆心到弦的距离为d，则 弦长的应用在圆锥曲线中颇多，除了常见的直接和弦长相关的问题外，面积问题等也是弦长频 繁出没的地方． 下面先说椭圆和抛物线中的弦长问题，看具体应用： 例题1 【2015湖南文科20】 已知抛物线的焦点为F，椭圆，，过点F的直线l与交于A，B两点，与相交于C，D两点，且与同向，若，求直线l的斜率 前面讲解的是椭圆和抛物线的弦长，上例也体现了转化思想的应用．下面我们再讲一例和双曲 线相关的联立问题．虽然近些年全国卷的圆锥曲线大题中，双曲线基本没有出现，但这并不代表不 会考查，随着新课改新高考的推进，势必会出现变动，扎实基础将显得更为关键． 【例题2】 已知椭圆，双曲线，若直线与C1交于，两点，与交于，两点，且，求的取值范围． 【练习1】 已知椭圆，直线与椭圆C相交于A，B两点，若，试用m表示k． 【练习2】 已知椭圆的左右焦点分别为，直线与椭圆交于A、B两点，与以为直径的圆交于C、D两点，且满足直线的方程． 1 / 3 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $专题04 韦达定理联立及弦长问题 联立与韦达定理 韦达定理是建立参数关系的重要纽带，对于绝大多数圆锥曲线问题，联立都是必不可少的．而在解析几何大题中，椭圆占比最大，还有部分