小题特训02：二项式定理-2022年高考数学一轮复习小题(高频考点）特训（新高考专版）

小题特训02：二项式定理 一、单选题 1．（2021·榆林市第十中学高三月考（理））在的展开式中的系数为20，则常数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 写出二项展开式的通项公式即可解决. 【详解】 由题意得二项展开式的通项公式为，依题意，令，则，，解得. 故选：A. 2．（2021·江西高三开学考试（理））的展开式中含项的系数为（ ） A．60 B．240 C．60 D．240 【答案】C 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为，求出的值，从而可求出含项的系数 【详解】 二项式的展开式， 当r=4，此时，可得展开式中项的系数为60， 故选：C. 3．（2021·眉山市彭山区第一中学高三开学考试（理））若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用赋值法求出，再由二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】 令得展开式中的各项系数和为，解得， 所以展开式的通项为， 令得展开式的常数项为． 故选：． 4．（2021·全国高三其他模拟）的展开式中，的系数为（ ） A．12 B．26 C．30 D．40 【答案】B 【分析】 由题意依次求出中，项的系数，求和即可 【详解】 本题考查二项式定理．因为，所以的系数为26． 故选B. 5．（2021·河南高三月考（理））已知，若与的展开式中的常数项相等，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先根据二项式中的通项，结合题意得到，再解方程即可. 【详解】 在中，， 令，解得，常数项为. 在中，， 令，解得，常数项为. 所以，又因为，所以. 故选：C 6．（2021·眉山市彭山区第一中学高三开学考试（理））已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用赋值法，即可求解. 【详解】 解：令，得，令，得， 所以， 故选：B 7．（2021·宁夏银川市·银川一中高三月考（理））对任意实数，有.则下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 令，，利用展开式通项可判断A选项的正误，利用赋值法可判断BCD选项的正误. 【详解】 令，则，令. 对于A选项，的展开式通项为， 令，可得，则，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：B. 8．（2021·吉林长春市·长春外国语学校（理））已知的展开式中常数项为240，则的展开式中项的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由二项式展开式的通项公式求的展开式中常数项，由此可求a，再求的展开式的项的系数. 【详解】 设的展开式中常数项为第r+1项， 又， ∴ ∴ ∴ 的展开式中常数项为， ∴ ，又 ∴ ∴ 的展开式中项为， ∴的展开式中项的系数为. 故选：C. 9．（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）的展开式中有理项的项数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 先化简原二项式为，再由二项式的展开式的通项公式可得选项. 【详解】 解：. 又的展开式的通项，所以. 当x的指数是整数时，该项为有理项，所以当，2，4，6，8时，该项为有理项，即有理项的项数为5. 故选：C. 10．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）的展开式中的系数为（ ） A．72 B．60 C．48 D．36 【答案】C 【分析】 先求得展开式中含项的系数，进而可得结果. 【详解】 的展开式的通项公式为： . 令，得；令，得，舍去；令，得. 故的展开式中的系数为. 故选：C. 【点睛】 方法点睛： （1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 11．（2021·河南（理））已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 令，可得，可得出，利用展开式通项可知当为奇数时，，当为偶数时，，然后令可得出的值. 【详解】 令，可得，则， 二项式的展开式通项为，则. 当为奇数时，，当为偶数时，， 因此，. 故选：A. 【点睛】 结论点睛：一般地，若. （1）； （2）展开式各项系数和为； （3）奇数项系数之和为； （4）偶数项系数之和为. 12．（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据给定条件结