专题09 椭圆（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版）

专题09 椭圆 一、考情分析 二、考点梳理 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 ＝2c 离心率 e＝，　　e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 三、题型突破 重难点01 椭圆的定义及其应用 例1、（1）（河南郑州外国语学校2019届模拟）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A　 【解析】由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，所以|PM|＝|PF|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝r，由椭圆的定义可知点P的轨迹为椭圆． （2）．（2020·重庆市第七中学校高二月考）如图所示，某人去草场打靶，猎物被放在了两个固定物、之间，满足，,此人在移动过程中，始终保持到，两点的距离和不小于6，当他离猎物最近时开枪命中猎物，则此时他离猎物的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 当时，点在以为焦点的椭圆上，故设 ，利用两点距离公式求解最小值即可． 【详解】 由题意，以中点为原点建立直角坐标系，则， 由，，得， 因为，当时，点在以为焦点的椭圆上， 所以， 则椭圆方程为，化为参数方程为 (为参数)， 所以到的距离为 ， 当时，. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． (3)．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】 由于方程表示椭圆， 所以. 故选：B 【变式训练1-1】、（2020·厦门市国祺中学高二月考）如图，在圆内有一点，点为圆上一动点，的垂直平分线与、的连线交于点，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 连接，计算出为定值，可知点的轨迹是椭圆，确定该椭圆的焦点位置，求出、的值，即可得出点的轨迹方程. 【详解】 连接，因为圆，所以圆心为，半径， 由垂直平分线的性质可知，则， 则点的轨迹为焦点为、的椭圆， 且，即，则， 因此，点轨迹方程为：， 故选：B. 【点睛】 利用定义求解椭圆的轨迹问题时，在本题中，要确保为定值，且该定值大于. 【变式训练1-2】、已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】 根据方程表示椭圆，及焦点的位置得不等关系，从而得出结论． 【详解】 解：椭圆的焦点在轴上， ，即， 且，， ， 又焦距为4，，得． 故选：． 重难点02 椭圆的标准方程 例2．（1）（辽宁省抚顺一中2019届期中）椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，且它的一个顶点为(0,2)，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】D　 【解析】根据题意，可知b＝2，结合离心率等于，可知a2＝16，所以椭圆方程为＋＝1.故选D. （2）．（黑龙江省佳木斯一中2019届期末）设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为________． 【答案】＋＝1 【解析】椭圆的右焦点为(2,0)，所以m2－n2＝4，e＝＝，所以m＝2，代入m2－n2＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为＋＝1. 【变式训练2-1】．（山东省淄博一中2019届模拟）中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y