第04讲 导数的概念题型训练-2022年高考数学函数与导数（知识、技能、题型训练）重点突破

第4讲 导数的概念题型训练 题型训练一·导数的概念 1．（2021·山东高三月考）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：）与直径（单位：）的关系式为，估计当时，气球体积的瞬时变化率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，即当时，气球体积的瞬时变化率为. 故选：C. 2．（2021·陕西长安一中高三月考（文））如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】解：不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．故选：D． 3．（2021·江苏洪泽·高三月考）函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，是函数的图象在（即点A）处切线的斜率，是函数的图象在（即点B）处切线的斜率，是割线的斜率． 由图象知,，即．故选:B． 4．（2021·全国高三月考（理））已知函数的导函数为，且，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解:，解得故选：D 5．（2021·沙坪坝·重庆一中高三）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】∵且，∴，即. 令，得：，∴，所以. 故选：C 6．（2021·江苏玄武·南京田家炳高级中学高三期末）原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（ ） A．12贝克 B．12 ln2贝克 C．6贝克 D．6 ln2贝克 【答案】A 【分析】解：，所以，，(贝克)，故选：A. 题型训练二·函数导数的求解 7．（2021·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”下列函数中，没有“巧值点”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A中，，时 ，解得或 ，所以选项A中的函数有“巧值点”；选项B中，,时，此方程无解所以选项B中的函数没有“巧值点”；选项C中，,时，，根据函数的性质，此方程在 上有解所以选项C中的函数有“巧值点”；选项D中，,时，，解得 ，所以选项D中的函数有“巧值点”.所以选项B正确.故选：B. 8．（2021·河南高三月考（文））已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】解：因为，所以，把代入，得，解得：，所以，所以.故选：C. 9．（2021·福建南平·高三月考）若直线与曲线相切，则（ ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】B 【分析】设直线与曲线切于点，因为，所以，，所以切点为，代入直线方程得：，即.故选：B. 10．（2021·江苏灌云县第一中学高三月考）已知函数的导函数为，且满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，则，所以，得，所以，，因此，.故选：A. 11．（2021·全国高三月考（文））已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，，.故选：A. 12．（2021·巴楚县第一中学高三月考（文））下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A：，故错误；B：，故错误； C：，故错误；D：，故正确. 故选：D 题型训练三·利用导数研究函数的单调性 13．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（理））设，.若任意、，且，有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，构造函数，则，对于任意、，且，，所以，函数在上为减函数，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，