2.2.4 第1课时 均值不等式-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 1．掌握均值不等式，并能求解函数的最值，提升数学运算素养． 2．会用均值不等式比较代数式的大小，培养逻辑推理素养． 　算术(几何)平均值及均值不等式 1.如图半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，并比较OD与CD的大小，你能发现一个不等式吗？ 提示：OD＝.≥，故＝；当AD＝BD，即a＝b时，＞，在Rt△ABD中，当AD≠BD，即a≠b时，，由平面几何知识得CD2＝AC·BC＝ab，即CD＝ 2．你发现的这个不等式，对a＝1，b＝4时成立吗？对∀a，b∈(0，＋∞)都成立吗？ 提示：当a＝1，b＝4时，＝2，成立；＞＝ 当a＞0，b＞0时，利用不等式的知识比较法： ≥0， ＝＝－ 故.≥，即∀a，b∈(0，＋∞)，≥ 如果a＞0，b＞0 (1)a，b的算术平均值为．，几何平均值为 (2)均值不等式，当且仅当a＝b 时，等号成立．≥ 1．均值不等式成立的条件是a＞0，b＞0，并且当a＝b且只有这唯一的条件下等号才成立． 2．(1)当a＞0，b＞0时，≥ab；⇔≥ (2)当a与b同号，即ab＞0时，≥2，当且仅当a＝b时等号成立．＋ 1．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－b＜0　　　　　　　 B．0＜＜1 C. D．ab＞a＋b＜ 解析：∵a＞b＞0，由均值不等式知一定成立．＜ 答案：C 2．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 解析：由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 答案：C 3．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使≥2成立的条件有(　　) ＋ A．1个　　　 B．2个　　　 C．3个　　　 D．4个 解析：当≥2，故只须a，b同号即可，∴①③④均可以．故选C.＋均为正数时，， 答案：C 4．若x＞0，则y＝4x＋的最小值为________． 解析：因为x＞0，所以y＝4x＋取最小值．时，y＝4x＋，即x＝＝12，当且仅当4x＝＝2≥2 答案：12 　对均值不等式的理解(小组探究) 　(链接课本例2)给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＝2；≥2 ＋ ②∵a∈R，a≠0，∴＝4；＋a≥2 ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＝－2. ≤－2 ＝－＋ 其中正确的推导为(　　) A．①②　　　　　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ 【尝试解答】　①∵a，b为正实数，∴为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确．， ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件， ∴＝4是错误的．＋a≥2 ③由xy＜0，得均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．，提出负号后，＋均为负数，但在推导过程中将整体， 答案：B eq \a\vs4\al() 1．均值不等式(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．≥ 2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： (1)定理成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，⇒a＝b.＝的等号成立，即≥；仅当a＝b时，＝的等号成立，即a＝b⇒≥ 1．给出下列命题：(1)若x∈R，则x＋≥2； (2)若a＜0，b＜0，则ab＋≥2； (3)不等式≥2成立的充要条件是x＞0且y＞0.其中正确命题的序号是________．＋ 解析：(1)只有当x＞0时，才能由均值不等式得到x＋＝2成立，这时只需x与y同号即可，故(3)错误．≥2 ＋＞0时，有＞0，＝2，故(2)正确；(3)由均值不等式可知，当≥2＝2，故(1)错；(2)当a＜0，b＜0时，ab＞0，由均值不等式可得ab＋≥2 答案：(2) 　求一元函数的最值(变通探究) 　(链接课本例1)(1)函数y＝(x＞1)的最小值是________． (2)已知x＜的最大值．，求函数y＝4x－1＋ 【尝试解答】　(1)y＝＝ ＝(x－1)＋＋2， 因为x＞1，所以x－1＞0， 所以(x－1)＋＋2， ＋2≥2 当且仅当x－1＝时等号成立．，即x＝1＋ 答案：2＋2 (2)因为x＜，所以4x－5＜0，故5－4x＞0. y＝4x－1＋＋4. ＝－ 因为5－4x＋＝2， ≥2 所以y≤－2＋4＝2，当且仅当5－4x＝(舍)时，等号成立，故当x＝1时，ymax＝2.，即x＝1或x＝ 【一题多变】 有最大值还是有最小值？”，其他条件不变，则函数y＝4x－1＋”，改为“x＞　本例(2)条件“x＜ 解：有最小值．因为x＞，所以4x－1＞0，4x－5＞0， y＝4x－1＋＋4 ＝4x－5＋ ≥2 ＋4＝6. 当且仅当4x－5＝(