第一章 集合与常用逻辑用语 章末整合提升-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

章末整合提升 授课提示　对应学生用书第24页 本章学习了集合和常用逻辑用语，依照各知识之间的联系，完成如下的知识结构图 类型1　集合的基本关系及运算 1．集合的基本关系 集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．若有限集有n个元素，其子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空子集个数是2n－1. 2．集合的基本运算 并、交、补是集合间的基本运算，维恩图与数轴是集合运算的重要工具．活用集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 角度1　集合间的基本关系 　已知集合A＝{x|0＜ax＋1≤5}，集合B＝，若A⊆B，求实数a的取值范围． 【尝试解答】　分三种情况讨论： ①当a＝0时，则A＝R，若A⊆B，此种情况不存在． ②当a＜0时，A＝，若A⊆B， 如图， 则所以a＜－8. ③当a＞0时，则A＝，若A⊆B， 如图， 则所以a≥2. 综上知，当A⊆B时，a＜－8或a≥2. 【变式探究】　若把本例的条件“A⊆B”换成“B⊆A”，如何求解？试问A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由． 解：分三种情况讨论： ①当a＝0时，则A＝R，显然B⊆A； ②当a＜0时，则A＝，若B⊆A， 如图， 则＜a＜0.所以－所以 ③当a＞0时，则A＝，若B⊆A， 如图， 则所以0＜a≤2. 综上知，当B⊆A时，－＜a≤2. 当且仅当A，B两个集合互相包含时，A＝B. 当A⊆B时，a＜－8或a≥2， 当B⊆A时，－＜a≤2，所以当a＝2时，A＝B. 1．集合间关系的判断方法 (1)定义法：根据定义直接判断元素与集合间的关系，得出集合间的关系． (2)图示法：利用数轴或维恩图表示出相应的集合，根据图示直观地判断． 2．求解集合间关系问题的两个注意事项 (1)解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时遵循“不重不漏”的原则，且对每类情况都要给出问题的解答． (2)对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅. 角度2　集合的基本运算 　设全集为实数集R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}． (1)求A∪B及(∁RA)∩B； (2)若A∩C＝A，求a的取值范围； (3)如果A∩C≠∅，求a的取值范围． 【尝试解答】　(1)A∪B＝{x|3≤x＜7}∪{x|2＜x＜10}＝{x|2＜x＜10}，∁RA＝{x|x＜3或x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}． (2)由A∩C＝A知A⊆C，借助数轴可知a的取值范围为[7，＋∞)． (3)由A∩C≠∅可知a的取值范围为(3，＋∞)． eq \a\vs4\al() 1．集合间运算的常用技巧：(1)借助于数轴；(2)利用维恩图． 2．集合间关系及运算中的注意事项：(1)当涉及集合间关系和运算的有关问题，如A⊆B，A∩B＝∅，A∪B＝B等时，都有可能涉及集合A或B为空集的情况．(2)由集合间关系或运算求参数时，要注意端点“＝”的取舍． 1．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 解：(1)A＝{x|0≤x≤2}，∴∁RA＝{x|x＜0或x＞2}． ∵(∁RA)∪B＝R.∴∴－1≤a≤0. (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在． 类型2　全称量词命题与存在量词命题的否定及应用 全称量词命题p：∀x∈M，r(x)的否定是存在量词命题¬p：∃x∈M，¬r(x)． 存在量词命题q：∃x∈M，s(x)的否定是全称量词命题¬q：∀x∈M，¬s(x)． 　(1)若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则p的否定为(　　) A．不存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0 B．存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0 C．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0 D．存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0 (2)已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)　　　　　　 B.(－1，3) C．(－3，＋∞) D.(－3，1) 【尝试解答】　(1)命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0的否定为：存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0.故选D. 答案：D (2)因为原命题为假命题，所以它的否定为真命题， 即∀x∈R，有2x2＋(a－1)x＋＞0恒成立． ∴Δ＝(a－1)2－4×2×＜0. ∴(a－1)2＜4，∴－1＜a＜3.故选B. 答案：B eq \a\vs4\al() 含量词的命题中求参数范围的讨论步骤 (1)先根据条件推出每一个命题的真假． (2)求出每个命题为真命