周周练3 章末检测——集合与常用逻辑用语-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

周周练3　章末检测——集合与常用逻辑用语 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．命题“∃x∈Z，x2＋1是4的倍数”的否定为(　　) A．∀x∈Z，x2＋1是4的倍数 B．∀x∈Z，x2＋1不是4的倍数 C．∃x∈Z，x2＋1不是4的倍数 D．∀x∉Z，x2＋1不是4的倍数 解析：选B.因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃x∈Z，x2＋1是4的倍数”的否定为“∀x∈Z，x2＋1不是4的倍数”． 2．设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝，则M∩N＝(　　) A. B． C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5} 解析：选B.集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝，则M∩N＝. 3．下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈R，x2＜0 C．∀x∈Q，x2－2≠0 D．∃x∈Q，x2－2＝0 解析：选C.当x＝0时，x2＝0，所以选项A是假命题； 因为∀x∈R，x2≥0，所以不存在x∈R，x2＜0，因此选项B是假命题； 由x2－2＝0可得x＝±，而±是无理数，所以选项C是真命题，选项D是假命题．故选C. 4．已知a，b∈R，则“a－2b＝0”是“＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.当a－2b＝0时，可能a＝b＝0，无法推出＝2，而当＝2时，隐含b≠0，两边同时乘以b，得到a＝2b.故“a－2b＝0”是“＝2”的必要不充分条件．故选B. 5．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，则维恩图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{3} B．{1，4，5，6} C．{2，3，7，8} D．{2，7，8} 解析： 选C.由题中维恩图易知，阴影部分表示的集合是[∁U(M∪P)]∪(M∩P)，因为M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，所以M∩P＝{3}，M∪P＝{1，3，4，5，6}．因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U(M∪P)＝{2，7，8}．故题中维恩图中阴影部分表示的集合是{2，3，7，8}． 6．已知集合M＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，P＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，若m∈P，n∈Q，则(　　) A．m＋n∈P B．m＋n∈Q C．m＋n∈M D．m＋n不属于M，Q，P中的任意一个 解析：选C.因为m∈P，n∈Q，所以m＝4k1＋1，k1∈Z，n＝2k2＋1，k2∈Z， 所以m＋n＝4k1＋1＋2k2＋1＝2(2k1＋k2＋1)，2k1＋k2＋1∈Z， 所以m＋n∈M. 7．已知p：x2＋x－6＝0和q：mx＋1＝0，m≠0，且p是q的必要条件，则实数m的值为(　　) A．－2或3 B．2或－3 C．－或－ D．－或 解析：选D.方法一：{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}．因为p是q的必要条件，所以{x|mx＋1＝0，m≠0}{2，－3}，得－＝2或－＝－3，解得m＝－或m＝.综上可知，m的值为 －或. 方法二(代入法)：{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，因为m≠0，当m＝－时，{x|mx＋1＝0}＝{2}；当m＝时，{x|mx＋1＝0}＝{－3}，均满足题意．故m＝－或m＝. 8．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A＝{x|0<Δx<2}，B＝{x|－3≤x≤5}，C＝，然后他们三人各用一句话来正确的描述“Δ”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件．则“Δ”中的数字可以是(　　) A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 解析：选C.因为此数为小于5的正整数，故A＝{x|0<Δx<2}＝，因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集，故>且≤5，解得≤Δ<3，故“Δ”中的数字可以是1或2. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．已知全集U＝A∪B，集合A＝{1，3，4}，B＝，则(　　) A．集合A的真子集有8个 B．{1}∈U C．U中的元素个数为5 D．(∁UA)⊆B 解析：选CD.因为集合A＝{1，3，4}，所以A的真子集个数为23－1＝7，故A错误；由B＝＝{1，2，4，8}，A＝{1，3，4}，得U＝A∪B＝{1，2，3，4，8}，所以{1}⊆U，U中的元素个数为5，故B错误，C正确；∁UA＝{2，8}，所以(∁UA)⊆B，故D正确． 10．已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x|－2≤x≤2}，则下列关系式正确的是(　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1，或x>2} D．A∩(∁RB)＝{x|2<x≤3} 解析：选BD.对于A，A∩B＝{x|－1<x≤2}，A错误；对于B，A∪B＝{x|－2≤x≤3}，B正确；对于C，∁RB＝{x|x<－2，或x>2}，则A∪(∁RB)＝{x|x<－2，或x>－1}，C错误；对于D，由选项C知，A∩(∁RB)＝{x|2<x≤3}，D正确．故选BD. 11．给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是(　　) A．集合M＝{－2，－1，0，1，2}为闭集合 B．整数集是闭集合 C．集合M＝{n|n＝2k，k∈Z}为闭集合 D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合 解析：选AD.显然当a＝－2，b＝2时，a－b＝－4∉M，则集合M不为闭集合，故A不正确； 因为任意两个整数相减或相加都是整数，所以整数集是闭集合，故B正确；若a＝2k，b＝2(k＋l)且k，l∈Z，故a＋b＝2(2k＋l)∈M，a－b＝－2l∈M，则集合M为闭集合，故C正确；若A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，显然有A1，A2为闭集合，2，3∈A1∪A2，但2＋3＝5∉A1∪A2，则A1∪A2不为闭集合，故D不正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 12．已知集合U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a＝________． 解析：由题意可知解得a＝2. 答案：2 13．已知命题p：∀x∈R，x2－2x－3＞0，则命题p的否定是__________命题．(填“真”或“假”) 解析：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，得命题p的否定为：∃x∈R，x2－2x－3≤0. 当x＝0时，x2－2x－3≤0成立，所以命题p的否定是真命题． 答案：真 14．已知集合A＝{x|－4≤x＜5}，B＝{x|a－3＜x＜a＋7}，全集U＝R.若B∪(∁UA)＝R，则实数a的取值范围是________． 解析：因为A＝{x|－4≤x＜5}， 所以∁UA＝{x|x＜－4，或x≥5}， 又B＝{x|a－3＜x＜a＋7}，B∪(∁UA)＝R， 所以解得－2≤a＜－1. 所以实数a的取值范围是{a|－2≤a＜－1}． 答案：{a|－2≤a＜－1} 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断所得命题的真假： (1)有一个奇数不能被3整除；(3分) (2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；(3分) (3)三角形的三个内角都为60°；(3分) (4)存在一个实数x，使＞2.(4分) 解：(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题． (2)是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题． (3)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题． (4)是存在量词命题，否定为：每一个实数x，都满足≤2，假命题． 16．(本小题满分15分)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}，P＝{x|x≤0，或x≥5}．求： (1)A∩B；(6分) (2)(A∩B)∪(∁UP).(9分) 解：(1)因为A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0，或x≥5}， 将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示： 所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}． (2)(A∩B)∪(∁UP)＝{x|－1＜x＜2}∪{x|0＜x＜5}＝{x|－1＜x＜5}． 17．(本小题满分15分)已知∀x∈R，关于x的不等式x2＋4x＋a≥0恒成立，此时实数a的取值集合为M. (1)求M；(6分) (2)已知非空集合N＝{x|m－1＜x＜3m}，若“∀x∈N，都有x∈∁RM成立”为真命题，求实数m的取值范围．(9分) 解：(1)因为关于x的不等式x2＋4x＋a≥0恒成立， 所以Δ＝42－4a≤0，可得M＝{a|a≥4}． (2)由(1)得∁RM＝{a|a＜4}， 若“∀x∈N，都有x∈∁RM成立”为真命题，则N⊆∁RM， 因为N为非空集合，则 解得－＜m≤.所以实数m的取值范围为. 18．(本小题满分17分)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有：A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}．据此，试回答下列问题： (1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；(3分) (2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B；(4分) (3)已知A中有3个元素，B中有4个元素，试确定A×B有几个元素．(10分) 解：(1)C×D＝{(a，1)，(a，2)，(a，3)}． (2)因为A×B＝{(1，2)，(2，2)}，所以A＝{1，2}，B＝{2}． (3)从以上解题过程可以看出，A×B中元素的个数与集合A和集合B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与集合B中的每一个元素对应结合，得到集合A×B中的一个新元素，若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A×B中的元素应为(m×n)个，所以若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则集合A×B中有3×4＝12个元素． 19．(本小题满分17分)已知集合A＝{x|x＝m2－n2，m，n∈Z}． (1)判断5，12，14，21是否属于A；(5分) (2)集合B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，判断“x∈A”是“x∈B”的什么条件(充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件或既不充分也不必要条件)，并说明理由；(6分) (3)写出集合A中的所有偶数．(6分) 解：(1)因为5＝32－22，12＝42－22，21＝52－22， 所以5∈A，12∈A，21∈A. 假设14＝m2－n2，m，n∈Z，则14＝(m－n)(m＋n)， 因为m－n＋m＋n＝2m，m－n－(m＋n)＝－2n， 所以m－n，m＋n的奇偶性一致，故(m－n)(m＋n)要么为奇数，要么为4的倍数， 故14＝m2－n2无整数解，故14∉A. (2)“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，理由如下： 集合B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，恒有2k＋1＝(k＋1)2－k2， 所以2k＋1∈A，即必要性成立； 又因为12∈A，12∉B，所以充分性不成立， 所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件． (3)由(1)知，A中元素要么为奇数，要么为4的倍数， 又对于任意k∈Z，总有4k＝(k＋1)2－(k－1)2，故4k∈A， 综上，集合A中的所有偶数为4k，k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $