2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

第2课时　均值不等式的应用 1．会用均值不等式解决有约束条件的代数式问题，提升数学运算素养． 2．能利用均值不等式证明简单的不等式，提升逻辑推理素养． 3．会用均值不等式解决生产、生活中的最值问题，培养数学建模素养． 　与均值不等式有关的常见重要结论 1．设a，b∈(0，＋∞)，你能比较大小吗？，， ， 提示：因为a＞0，b＞0，所以；≥＋ 即(当且仅当a＝b时取等号)， ≥ 又(当且仅当a＝b时等号成立)， ≤ ≤0，所以＝＝－ 而(当且仅当a＝b时等号成立)．≥≥≥，故 ≤ 2．∀a，b∈R.你能比较a2＋b2与2ab，的大小吗？与 提示：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0 ∴a2＋b2≥2ab当且仅当a＝b时等号成立． ∵≥0 ＝－ 即当且仅当a＝b时等号成立．≥ 3．你能说出∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab与均值不等式的区别与联系吗？ 提示：区别：两个不等式成立的条件不同． 联系：(，显然均值不等式是a2＋b2≥2ab的特殊情况．＝2)2≥2)2＋( 1．a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2． 2．a，b∈R时，a2＋b2≥2ab，≥ab．≥ 3．a，b∈(0，＋∞)时 (以上当且仅当a＝b时等号成立)．≥≥≥ 　均值不等式与最值问题 1．若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？ 提示：x＋y＝8，由≥xy得xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大． 2．若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？ 提示：xy＝16，由x＋y≥2得x＋y≥8，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小． 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y＝；时，xy取得最大值 (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y＝．时，x＋y取得最小值2 1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________． 解析：xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”． 答案：2 2．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________． 解析：1＝x＋4y≥2， ＝4 ∴xy≤时等号成立．，当且仅当x＝4y＝ 答案： 3．已知x＞0，则f(x)＝的最大值为________． 解析：f(x)＝. ＝ ∵x＞0，∴x＋＝2， ≥2 ∴f(x)≤，即x＝1时等号成立．＝1，当且仅当x＝ 答案：1 4．设a＞0，b＞0，证明：≥a＋b. ＋ 证明：∵a＞0，b＞0，∴＋b≥2a， ＋a≥2b， ∴≥a＋b.＋ eq \a\vs4\al(,) 　利用均值不等式证明简单不等式(互动探究) 　(链接课本例5，例6)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8. 【尝试解答】　因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， 所以. ≥＝－1＝ 同理，.－1≥，－1≥ 上述三个不等式两边均为正， 相乘得时，取等号． ＝8，当且仅当a＝b＝c＝··≥ eq \a\vs4\al() 利用均值不等式证明不等式时应注意的问题 (1)多次使用a＋b≥2时，要注意等号能否成立，累加(累乘)是不等式性质的应用，也是证明不等式常使用的方法． (2)对不能直接使用均值不等式的证明，要重新组合，构造运用均值不等式的条件，若条件中有一个多项式的和为1，要注意1的代换． 1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v<　　　　　　 B．v＝ C. D．v＝<v< 解析：设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为.＝a，即a<v<>，＝<＝，又因为a<b，所以全程的平均速率为v＝，从乙地到甲所需时间为 答案：A eq \a\vs4\al(,) 　求有约束条件的代数式的最值(变通探究) 　(链接课本例4)已知x，y是正实数，且2x＋5y＝20. (1)求xy的最大值． (2)求的最小值．＋ 【尝试解答】　(1)∵x＞0，y＞0， ∴由均值不等式，得.＝≥ ∵2x＋5y＝20， ∴≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立． 因此有此时xy有最大值10.解得 (2)∵x＞0，y＞0， ∴， ＝≥＝·＝＋ 当且仅当时，等号成立．＝ 由解得 ∴.的最小值为＋ 【一题多变】 　若本例变为正数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值为________． 解析：由xy＝2x＋y＋6≥2，则xy≥18，当且仅当2x＝y，2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18.)≥0，∴t≥3)(t＋t＋6，(t－3＞0，即t2≥2＋6，设t＝ 答案：18 的最小值为________．＋　若本例变为：设x＞0，y＞1，若x＋y＝2.则 解析：因为x＋(y－1)＝1，且x＞0，y－1＞0，所以.