第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末整合提升-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

章末整合提升 本章学习了指数函数、对数函数、幂函数及函数的应用，依据各知识之间的联系，完成如下的知识结构图． 类型1　指数与对数的运算 指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容． 1．实数指数幂的运算法则 as·at＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs 2．对数的运算法则 首先M＞0，N＞0，c＞0且c≠1. (1)loga(MN)＝logaM＋logaN (2)loga＝logaM－logaN (3)logaMn＝nlogaM (4)logambn＝. logab＝ 　计算下列各题： (1)(×80.25－(－2 005)0；－－4×))6＋(× (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2＋lg 0.06. )2＋lg 【尝试解答】　(1)原式＝(2－1＝22×33＋2－7－2－1＝100.×2－2－4×)×2)6＋(2×3 (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋(lg 2)2＋lg 0.01 ＝3lg 2·lg 5＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3－2＝1. eq \a\vs4\al() 1.指数与对数的运算应遵循的原则 (1)指数与对数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的． (2)对数式的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行． 2．底数相同的对数式化简的两种基本方法 (1)“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 1．(1)计算：＋log2(log216)＝________． (2)4－7log72＝________．)log210－(3 (3)已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________． 解析：(1)原式＝＋log24 ＝.＋2＝ (2)原式＝2log210－(3－7log72) ＝10－3－2＝5. (3)由2x＝3，log4＝log28＝3.，所以x＋2y＝log23＋log2log2＝＝y，得x＝log23，y＝log4 答案：(1)　(2)5　(3)3 类型2　幂值、对数值的大小比较 比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法． 　(1)已知a＝212，b＝，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜b＜a　　　　　 B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a (2)比较下列各组数的大小： ①， ②log2 0.4，log3 0.4，log4 0.4. 【尝试解答】　(1)因为a＝212，b＝， ＝2 且y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以a＞b＞20＝1， 又c＝2log52＝log54＜1， 因此a＞b＞c. (2)①因为幂函数y=x在（0,+ ∞）上是增函数， 又0<<所以< 因为指数函数y=.>>,所以<x在R上为减函数，且 ②因为对数函数y＝log0.4 x在(0，＋∞)上是减函数， 所以log0.4 4＜log0.4 3＜log0.42＜log0.4 1＝0. 又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 所以， ＜＜ 即log20.4＜log30.4＜log40.4. 答案：(1)A　(2)①< ②log2 0.4＜log3 0.4＜log4 0.4 eq \a\vs4\al() 　比较函数值的大小的一般步骤 (1)根据函数值的特征选择适当的函数． (2)根据所选函数的单调性，确定两个函数值的大小． (3)当两个函数值不能直接比较时，常选择两个对应函数，再进行比较． (4)必要时，可先将函数值与特殊值0和1进行比较，最后确定它们的大小关系． 2．(1)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　) A．a＞b＞c　　　　　　 B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 解析：∵π＞3，∴a＝log2π＞1，b＝log＜1，故a＞c＞b，选C.π＜0，0＜c＝π－2＝ 答案：C (2)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　) A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 解析：由3＜7＜9得log33＜log37＜log39，∴1＜a＜2，由21.1＞21＝2，得b＞2，由0.83.1＜0.80＝1得c＜1，因此c＜a＜b，故选B. 答案：B 类型3　指数函数、对数函数、幂函数性质、图像的应用 指数函数、对数函数及幂函数性质的对比 (1)指数函数与对数函