6.2.2 直线上向量的坐标及其运算-6.2.3 第1课时 直线上向量和平面向量的坐标及其运算-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

6．2.2　直线上向量的坐标及其运算 6．2.3　平面向量的坐标及其运算 第1课时　直线上向量和平面向量的坐标及其运算 1．理解直线上向量的坐标，掌握直线上向量的运算与坐标的关系，并能简单应用，培养直观想象核心素养． 2．类比直线上向量的坐标及其运算，掌握平面向量的坐标及其运算并能熟练应用，提升数学运算核心素养． 　直线上向量的坐标及其运算 　已知A、B都是数轴上的点，A(－1)，B(3)．则线段AB中点的坐标为________，|等于________．的坐标为________，| 提示：线段AB中点的坐标为|＝|4|＝4.的坐标为4，|＝1. 1．直线上向量的坐标 (1)如果数轴上一点A对应的数为x(记为A(x)，也称点A的坐标为x)，那么向量对应的坐标为x；反之，这一结论也成立． 因此，为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种： ①将向量用单位向量表示出来； ②将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． (2)直线上两个向量相等⇔它们的坐标相等． 2．直线上向量的运算与坐标的关系 设直线上a，b的坐标分别为x1，x2；μ、v为实数，则a±b的坐标为x1±x2，μa－vb的坐标为μx1－vx2． 　平面向量的坐标及其运算 (一)平面向量的坐标 如图，已知i，j分别是x，y轴上的单位向量，|a|＝r，∠AOx＝θ， (1)试用i，j表示a； (2)点A在坐标系中的坐标是什么？ 提示：(1)a＝rcos θ·i＋rsin θ·j. (2)(rcos θ，rsin θ)． 1．向量的正交分解 如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． 2．向量的坐标 给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)． (二)平面上向量的运算与坐标的关系 　在基底{i，j}下，a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j(x1，x2，y1，y2∈R)． (1)计算a＋b，a－b，2a； (2)若{i，j}是单位正交基底，则a＋b，a－b，2a的坐标是什么？ 提示：(1)a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，2a＝2x1i＋2y1j. (2)(x1＋x2，y1＋y2)，(x1－x2，y1－y2)，(2x1，2y1)． 1．给定平面上a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，μ，v均是实数． 则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，μa±vb＝(μx1±vx2，uy1±vy2)． |a|＝． )，|a－b|＝＋y 2．平面直角坐标系中已知两点A(a，b)，B(c，d)． 则AB＝|． ，线段AB中点坐标|＝ 1．对符号(x，y)的认识 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，为了加以区别，需说明点P(x，y)或者向量a＝(x，y)． 2．相等向量的坐标一定相同，但相等向量的起点、终点的坐标可以不同． 1．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为(　　)＝2 A.　　　　　　 B． C．(3，2) D．(1，3) 解析：设点D(m，n)，则由题意，得(4，3)＝2(m，n－2)＝(2m，2n－4)，故，故选A.即点D解得 答案：A 2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量等于(　　)＝(－4，－3)，则向量 A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4)　 D．(1，4) 答案：A 3．若a＝(x－2，5)，b＝(－1，y＋2)，且a＝b，则x＝______，y＝________． 解析：∵a＝b，∴，即 答案：1　3 4．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)．则a＝____________；b＝__________． 解析：a＝[(a＋b)＋(a－b)]＝(－3，4)， b＝[(a＋b)－(a－b)]＝(5，－12)． 答案：(－3，4)　(5，－12) 　平面向量的坐标表示(小组探究) 　(课本P162例1的拓展)已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和的坐标．与 【尝试解答】　由题知B、D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)． 由三角函数的定义， 得x1＝cos 30°＝， ，y1＝sin 30°＝ ∴B＝. x2＝cos 120°＝－， ，y2＝sin 120°＝ ∴D. ∴. ＝，＝ eq \a\vs4\al() 求点和向量坐标的