数列复习直通车-【数理报】2021-2022学年高中数学必修5复习专号（北师大版）

书书书 复习导言 数列的基础知识包括数列的概念、通项公式，等差 等比数列的定义、通项公式以及前 ｎ项和公式．数列解 答题处在初等数学与高等数学的交汇处，它是以等差 等比数列知识为载体，融函数、方程、不等式于一体，以 考查学生解决问题的综合能力为目标的中档题或压轴 题，难度较大，同时渗透了化归转化、函数方程、归纳猜 想证明等数学思想方法的应用．为此，我们应夯实基 础，搞好以等差等比数列的概念、性质及其应用为主线 的复习，深刻理解数列的概念性质，牢固把握数列通项 的求法和前ｎ项和公式的应用． 题型解析 题型一：数列通项公式的求法 １．观察法求通项 例１按一定的规律排列的一列数依次为：１２， １ ３， １ １０， １ １５， １ ２６， １ ３５，…，按此规律排列下去，这列数中的第７ 个数是 ． 解析：注意观察，可以发现： 第１个数字是：１２ ＝ １ １２＋１ ， 第２个数字是：１３ ＝ １ ２２－１ ； 第３个数字是：１１０＝ １ ３２＋１ ， 第４个数字是：１１５＝ １ ４２－１ ； 第５个数字是：１２６＝ １ ５２＋１ ， 第６个数字是：１３５＝ １ ６２－１ ， 因此，第７个数字应是： １ ７２＋１ ＝ １５０． 点评：本题主要是通过观察每项与项数的关系，从 而归纳出一般规律． ２．已知Ｓｎ和ａｎ的关系求通项 例２已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ ＝２ ｎ＋１，求 数列的通项公式． 解析：当ｎ＝１时，ａ１ ＝Ｓ１ ＝２ １＋１＝３； 当ｎ≥２时，ａｎ ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ ＝（２ ｎ＋１）－（２ｎ－１＋ １）＝２ｎ－１． 上式对ａ１ ＝３不成立． 故ａｎ ＝ ３，　　　ｎ＝１， ２ｎ－１， ｎ≥２{ ． 点评：对于已知前ｎ项和求通项公式的问题，主要 是通过公式ａｎ ＝ Ｓ１　　　（ｎ＝１）， Ｓｎ－Ｓｎ－１（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ＋ { ） 来确定． 此解法必须分两种情况：ｎ＝１和ｎ≥２，最后还需要验 证ａ１是否符合ｎ≥２时ａｎ的情况，若不符合则用分段 的形式表示． ３．累加法求通项 例３数列｛ａｎ｝中，ａ１＝２，ａｎ＋１＝ａｎ＋３ｎ＋２，求通 项公式ａｎ． 解析：由ａｎ＋１ ＝ａｎ＋３ｎ＋２得ａｎ＋１－ａｎ ＝３ｎ＋２， 则ａ２－ａ１ ＝３×１＋２； ａ３－ａ２ ＝３×２＋２； ａ４－ａ３ ＝３×３＋２；…； ａｎ－ａｎ－１ ＝３（ｎ－１）＋２． 上面ｎ－１个式子相加得： ａｎ－ａ１＝３［１＋２＋３＋… ＋（ｎ－１）］＋２（ｎ－１）， 解得ａｎ ＝ ３ｎ２＋ｎ ２ ． 点评：形如ａ１ ＝ａ，ａｎ＋１ ＝ａｎ＋ｆ（ｎ）的数列，可利 用累加公式ａｎ ＝ａ１＋ｆ（１）＋ｆ（２）＋… ＋ｆ（ｎ－１）求 通项公式． ４．累乘法求通项 例４在数列｛ａｎ｝中，已知ａ１＝１，ａｎ＋１＝ ｎ ｎ＋１ａｎ（ｎ ∈Ｎ＋），求通项公式ａｎ． 解析：由ａｎ＋１ ＝ ｎ ｎ＋１ａｎ得： ａ２ ＝ １ ２ａ１，ａ３ ＝ ２ ３ａ２，ａ４ ＝ ３ ４ａ３，…，ａｎ ＝ ｎ－１ ｎ ａｎ－１，将上述ｎ－１个等式两边分别相乘得： ａ２ａ３ａ４…ａｎ ＝ １ ２ · ２ ３ · ３ ４ · … · ｎ－１ ｎ （ａ１ａ２ａ３…ａｎ－１），所以ａｎ ＝ １ ｎａ１ ＝ １ ｎ． 点评：利用恒等式ａｎ ＝ａ１· ａ２ ａ１ · ａ３ ａ２ ·…· ａｎ ａｎ－１ （ａｎ ≠０）求通项公式的方法称为累乘法．累乘法是求形如 ａｎ＋１ ＝ｇ（ｎ）ａｎ的递推数列通项公式的基本方法． ５．构造法求通项 例５已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ＋１－２ａｎ＝１，且ａ１＝１， 求通项公式ａｎ． 解析：可将ａｎ＋１－２ａｎ＝１变形为ａｎ＋１＋１＝２（ａｎ＋１）． 因为ａ１＝１，故数列｛ａｎ＋１｝是以ａ１＋１＝２为首 项，２为公比的等比数列． 所以ａｎ＋１＝２×２ ｎ－１ ＝２ｎ，从而ａｎ ＝２ ｎ－１． 点评：将某一整体变形，转化为等比数列求解是构 造法的精髓． 题型二：等差与等比数列的判定 例６设数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和为 Ｓｎ，已知 ａ１ ＝１， Ｓｎ＋１ ＝４ａｎ＋２，ｂｎ ＝ａｎ＋１－２ａｎ．求证：数列｛ｂｎ｝是等比 数列． 分析：先借助数列｛ａｎ｝的通项与其前 ｎ项和之间 的关系求出数列｛ａｎ｝的通项公式，然后用等比数列的 定义进行证明． 证明：由Ｓ２ ＝ａ１＋ａ２ ＝４ａ１＋２得ａ２ ＝５． 所以ｂ１ ＝ａ２－２ａ１ ＝３． 当ｎ≥２时，ａｎ＋１ ＝Ｓｎ＋１－Ｓｎ ＝４ａｎ－４ａｎ－１， 即ａｎ＋１－２ａｎ ＝２（ａｎ－２ａｎ－１），即ｂｎ ＝２ｂｎ－１． 故数列｛ｂｎ｝是以３为首项，２为公比的等比数列． 点评：判断某个数列是否为等差（或等比）数列，常 用方法有两种：一是由定义判断；二是看任意相邻三项 是否满足等差中项（或等比中项）． 题型三：等差、等比数列的基本性质 例７各项均为正数的