结业考试模拟题（一）-【数理报】2021-2022学年高中数学必修5复习专号（北师大版）

书书书 ３．当ａ＞０＞ｂ时，１ａ ＞ ２ ｂ，（Ａ）错误；当ａ＝１，ｂ＝－２ 时，ａ２ ＜ｂ２，（Ｂ）错误；当ｃ＝０时，ａ｜ｃ｜＝ｂ｜ｃ｜，（Ｄ）错误． ４．因为不等式 －２ｘ２＋ｂｘ＋１＞０ {的解集 ｘ －１２ ＜ｘ＜ }ｍ ，所以 －１２，ｍ是一元二次方程 －２ｘ２＋ｂｘ＋１＝０的两个 实数根，且 －１２ ＜ｍ，所以－ １ ２＋ｍ＝ ｂ ２，－ １ ２·ｍ＝－ １ ２， 解得ｍ＝１，ｂ＝１． ６．因为｛ａｎ｝是正项等比数列，由 ａｍａｎ ＝ａ２１２ｍ＋ｎ－２ ＝ ４ａ２１２２ ＝ａ２１２４，得到ｍ＋ｎ＝６， ２ ｍ ＋ １ ２ｎ＝ (１６ ２ｍ ＋１２ )ｎ （ｍ ＋ｎ）＝ (１６ ５２ ＋２ｎｍ ＋ｍ２ )ｎ ≥ １６ ５２ ＋( )２ ＝ ３４． ７．根据题意可得１＋１１＋ａ≥２，或式子 １＋１ １＋ａ无意义，化简可得 ０＜１＋ａ≤１或ａ＝－１，解得 －１≤ａ≤０． ８．如图１，ｚ＝ｙ－１ｘ＋１表示可行域 内的动点Ｐ（ｘ，ｙ）与定点Ａ（－１，１）连 线的斜率．由图可知，ｋＡＢ≤ ｋＡＰ ＜１， 即 －１２≤ｚ＜１． ９槡 槡．ｘ＋ｙ≤ 槡ａ ｘ＋ｙ恒成立，所 以ａ＞０，且ｘ＋ｙ＋２槡ｘｙ≤ａ２（ｘ＋ｙ）恒成立，所以ａ２－１≥ ２槡ｘｙ ｘ＋ｙ恒成立，因为槡ｘｙ≤ ｘ＋ｙ ２ ，所以 ２槡ｘｙ ｘ＋ｙ≤１，所以ａ ２－１ ≥１，所以ａ２≥２，所以ａ≥槡２． １０．根据题意，不等式ｘ２－２ｘ－３≤０的解集为［－１，３］，而 函数ｙ＝ｘ２＋４ｘ－（１＋ａ）的图像的对称轴为ｘ＝－２，由题意 只要方程 ｘ２＋４ｘ－（１＋ａ）＝０的大根 ｘ２≥－１，所以有 －４＋ １６＋４＋４槡 ａ ２ ≥－１，解得ａ≥－４，由Δ＝１６＋４（１＋ａ） ＞０，解得ａ＞－５，所以满足条件． １１．由题意作出其平面区域如 图 ２ 所 示， 由 题 意 可 得， Ａ １３ ５，( )７５ ，Ｂ（１，３），则 ７ １３≤ ｙ ｘ ≤３，则 ２≤ ｙｘ ＋ ｘ ｙ≤ １０ ３，故 ｘｙ ｘ２＋ｙ２ ＝ １ｙ ｘ＋ ｘ ｙ ≤ １２，当且仅 当 ｙ ｘ ＝１时，等号成立． １２．因为２ｘｙ＝６－（ｘ２＋４ｙ２），而２ｘｙ≤ｘ ２＋４ｙ２ ２ ，所以６ －（ｘ２＋４ｙ２）≤ｘ ２＋４ｙ２ ２ ，所以ｘ ２＋４ｙ２≥４，当且仅当ｘ＝２ｙ 时取等号，又因为（ｘ＋２ｙ）２＝６＋２ｘｙ≥０，即２ｘｙ≥－６，所以 ｚ＝ｘ２＋４ｙ２ ＝６－２ｘｙ≤１２，综上可得４≤ｘ２＋４ｙ２≤１２． 二、填空题 １３．（－７，０）；　１４．８；　１５．｛６，７，８｝；　１６．７． 提示： １３．因为 －２＜ｘ＜ｙ＜５，所以 －２＜ｘ＜５，－５＜－ｙ＜ ２，所以 －７＜ｘ－ｙ＜７．又ｘ＜ｙ，所以ｘ－ｙ＜０，所以 －７＜ ｘ－ｙ＜０． １４．因为ｘ＞１，所以ｘ－１＞０，所以ｙ＝ｘ＋ １ｘ－１＋５＝ （ｘ－１）＋ １ｘ－１＋６≥８，当且仅当ｘ－１＝ １ ｘ－１，即ｘ＝２时 等号成立． １５．设函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－６ｘ＋ｍ，可知其图像开口向上，对称 轴是ｘ＝３，又ｘ２－６ｘ＋ｍ≤０的解集中有且仅有３个整数，则 ｆ（２）≤０， ｆ（１）＞０{ ，即 ２２－６×２＋ｍ≤０， １２－６×１＋ｍ＞０{ ，解得５＜ｍ≤８，又ｍ∈ Ｚ，故ｍ＝６，７，８，所以符合条件的ｍ的取值集合是｛６，７，８｝． １６．不等式组所表示的平面区域 如图３所示，由图可知，目标函数ｚ＝ ａｘ＋ｂｙ（ａ＞０，ｂ＞０）在点Ｃ（３，４）处 取得最大值７，所以３ａ＋４ｂ＝７，所以 ３ ａ ＋ ４ ｂ ＝ ３ ａ ＋ ４( )ｂ × １ ７（３ａ＋ ４ｂ）＝１７ (× ２５＋１２ｂａ ＋１２ａ)ｂ ≥ １７ ×（２５＋２×１２）＝７，当且仅当ａ＝ｂ＝１时等号成立． 三、解答题 １７．解：（１）因为当ａ＝５时，不等式ｆ（ｘ）＜０， 即ｘ２＋５ｘ＋６＜０， 所以（ｘ＋２）（ｘ＋３）＜０，所以 －３＜ｘ＜－２． 所以不等式ｆ（ｘ）＜０的解集为｛ｘ｜－３＜ｘ＜－２｝． （２）因为不等式ｆ（ｘ）＞０的解集为Ｒ， 即ｘ２＋ａｘ＋６＞０的解集为Ｒ， 所以Δ＝ａ２－４×６＜０， 解得 － 槡２６＜ａ＜ 槡２６， 所以实数ａ的取值范围是（－ 槡２６，槡２６）． １８．证明：ａ＋１ｂ－ ｂ＋ １( )ａ ＝（ａ－ｂ）＋ １ｂ－１( )ａ ＝ （ａ－ｂ）＋ａ－ｂａｂ ＝（ａ－ｂ） １＋ １( )ａｂ， 因为ａ＞ｂ＞０， 所以ａ－ｂ＞０，１＋１ａｂ＞０，（ａ－ｂ） １＋ １( )ａｂ ＞０， 即ａ＋１ｂ ＞ｂ＋ １ ａ． １９．解：设每天生产甲、乙产品分 别为ｘ吨、ｙ吨，每天所获利润为 ｚ万 元， 则有 ３ｘ＋２ｙ≤１２， ｘ＋２ｙ≤８， ｘ≥０，ｙ≥０ { ， ｚ＝３ｘ＋４ｙ 作出可行域如图４所示． 由图形可知，当直线ｚ＝３ｘ＋４ｙ经过点Ａ（２，３）时，