专题07 函数的零点解题模板-高中数学解题模板

函数的零点问题 【考点综述】 函数的零点是函数与其他知识具有广泛联系的一个链结点，它从不同的角度，将数与形、函数与方程有机地联系在一起由于函数零点涉及到化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思想方法，加之与导数的应用一唱一和，与高等数学相衔接，因此自然成为命题者眼中难以割舍的命题源泉.利用函数零点解决函数问题、方程问题已成为高考命题的一个热点，成为新课程实验后高考的新亮点. 【解题方法思维导图预览】 【解题方法】 解题方法模板一：零点或零点存在区间的确定 使用情景：一般函数类型 解题模板： 第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可. 例1 函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解题模板选择： 本题中需要确定函数的零点所在的区间，故选取解题方法模板一零点或零点所在区间的确定进行解答. 解题模板应用： 第一步，直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函數值的乘积是否小于0： 函数单调递增只有一个零点， 而，； 第二步，若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可： 由可知数的点在，故选：B. 【典型例题】 1. 函数的零点所在的大致区间的 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数是单调递增函数，则只需时，函数在区间（a，b）上存在零点. 【详解】函数 ,在x>0上单调递增， ， 函数f（x）零点所在的大致区间是； 故选B 【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若 确定零点所在的区间. 2. 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断函数在其定义域上是增函数，结合函数零点的存在性定理可得函数零点所在的大致区间． 【详解】解：函数的导函数， 故在其定义域上是增函数， 再根据，，可得，故函数零点所在的大致区间为， 故选：． 【点睛】本题主要考查用二分法求函数零点的近似值，函数零点的判定定理，属于基础题． 3. 已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是（ ） A. (－2，－1) B. (－1，0) C. (0，1) D. (1，2) 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算，以及的函数值，根据零点存在性定理，即可判断. 【详解】因为a>1，0<b<1，f(x)＝ax＋x－b， 所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0， 所以f(－1)·f(0)<0， 则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点. 故选：. 【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属基础题. 4. 函数f（x）=log2x--1的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连续函数f（x）=log2x--1在（0，+∞）上单调递增且f（3）f（4）＜0，根据函数的零点的判定定理可求结果． 【详解】∵函数f（x）=log2x--1在定义域（0，+∞）上单调递增， ∴f（3）=log23-1-1＜0，f（4）=2--1＞0， ∴根据根的存在性定理得f（x）=log2x--1的零点所在的一个区间是（3，4）， 故选C． 【点睛】本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题． 5. 函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用． 点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间． 视频 解题方法模板二：零点的个数的确定 使用情景：由所给的函数确定函数零点的个数 解题模板： 方法1：定义法 使用情景：一般函数类型 解题模板： 第一步 判断函数的单调性； 第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0， 则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点； 第三步 得出结论. 方法2：数形结合法 使用情景：一般函数类型 解题模板： 第一步 在同一直角坐标系中，分别