专题06 分类讨论思想-解题模板-高中数学解题模板

分类讨论的数学思想 【考点综述】 分类讨论是高中数学的一种重要思想方法，分类讨论的过程是一个逻辑推理的过程：化整为零，各个击破，再积零为整这也是从一般到特殊、再从特殊到般的过程，能培养学生思维的条理性和严密性. 逻辑推理是高中数学的六大核心素养之一，指的是从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.它主要包括两类：从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.分类讨论是指在解决一个问题时，若无法用同一种方法解决，则可以根据不同情况把问题分类，转化成若干个小问题，再将这些小问题逐一解决，从而使原问题获得解决. 【解题方法思维导图预览】 【解题方法】 解题方法模板：所给的问题比较复杂，需要按照一定的标准进行分类讨论 使用情景：较复杂的数学问题 解题模板： 第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围； 第二步逐类进行讨论，得出各类结果 第三步归纳各类结论，得出结论. 实际应用问题模板一：分段函数中的分类讨论思想 使用情景：分段函数分类讨论 解题模板： 例1已知函数若，则实数的取值范围为___. 解题模板选择： 本题中所给的是一个由分段函数解不等式的问题，故选取实际应用问题模板一分段函数中的分类讨论思想进行解答. 解题模板应用： 第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围； 题目中的函数为分段函数，需要对自变量按照函数的解析式分类讨论： 第二步逐类进行讨论，得出各类结果 令，即或， 解得或， ，或， 或或或， 解得或， 第三步归纳各类结论，得出结论. 故不等式的解集为：. 【典型例题】 1. 设函数f(x)=若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于的范围不确定，故应分和两种情况求解. 【详解】当时，， 由得， 所以，可得：， 当时，， 由得， 所以，即，即， 综上可知：或. 故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式的关键是对的范围讨论，分情况解，属于中档题. 2. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分，两种情况进行讨论，结合绝对值不等式的求解以及对数函数的性质即可求出实数的取值范围. 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，. 故选:D. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了对数不等式的求解，考查了分类的思想. 3. 已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立． 【详解】∵，即， （1）当时，， 当时，， 故当时，在上恒成立； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当函数单增，当函数单减， 故，所以．当时，在上恒成立； 综上可知，的取值范围是， 故选C． 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 4. 已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若函数是R上的增函数，则，解得答案. 【详解】∵函数是R上的增函数，， ∴， 解得a∈， 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是分段函数单调性的性质，首先保证每一段单增，再保证分段点处增，属于中档题. 5. 设函数，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对讨论，分别求出两段中的值，注意取舍. 【详解】当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：舍去， 综上可得，实数的值为： 故选：D 【点睛】本题主要考查了分段函数，解题的关键是确定自变量的取值范围. 实际应用问题模板二：含参型分类讨论 使用情景：解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论. 例2-A在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（2，3），及圆C：（x-a）2+（y+1）2=15+，若线段AB（包括端点A，B）在圆C的外部，则实数a的取值范围是 . 解题模板选择： 本题中考查圆的方程的应用，需要对具体的参数进行分类讨论，故选取实际应用问题模板二含参型分类讨论进行解答. 解题模板应用： 第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围； 本题中a为参数，需要a的值进行分类讨论， 第二步逐类进行讨论，得出各类结果 （1）若a=0，符合题意. （2若a<0，圆心C（a，-1）在第三象限，此时只需要点A在圆C外即可（恒符合题意）. （3）若0<a<2，圆心C（a，-1）在第四象限，而且在线段AB的正下方，此时只需圆C的半径r<4，解得. （4）若a≥2，圆心C（a，-1）在第四象限，此时只需点B在圆C外即可符合题意，