专题05 函数的周期性和对称性-解题模板B-高中数学解题模板

05函数的周期性和对称性-解题模板B 解题方法模板四：数列的周期性专题 使用情景： 数列是特殊的函数，若所给数列的递推关系不易求得通项公式，但是通过计算数列的前若干项可确定数列为周期数列 解题模板： 第一步 利用所给的递推关系式计算数列的前面若干项 第二步 结合计算的结果确定数列的周期现象 第三步 结合周期现象解决所给的问题 例4数列{an}中，，那么______. 【答案】17 【解析】 解题模板选择： 本题中所给的数列不易求得通项公式，故选取解题方法模板四数列的周期性进行解答. 解题模板应用： 第一步 利用所给的递推关系式计算数列的前面若干项 由题意结合递推关系可得： ， ， ， 第二步 结合计算的结果确定数列的周期现象 故数列是周期为9的数列， 第三步 结合周期现象解决所给问题 由于， 故. 故答案为：17. 【典型例题】 1. 若数列满足：存在正整数T，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为T． 已知数列满足 ，则下列结论错误的是 A. 若，则可以取3个不同的数； B. 若，则数列是周期为3的数列； C. 存在，且，数列是周期数列； D. 对任意且，存在，使得是周期为的数列． 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：A:当时，由得时，由得； 时， 得 ；正确 . B: 所以，正确． C：命题较难证明，先考察命题D． D：命题的否定为“对任意的，且，不存在，使得是周期为的数列”，而由B显然这个命题是错误的，因此D正确，从而只有C是错误． 考点：命题的真假判断与应用． 【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T的数列”，然后对A、B、C、D四个命题一一验证，A、B两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D命题，并且在命题D本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D的否定，命题D的否定由命题B很容易得出是错误的，从而命题D是正确的． 2. 在数列中，若存在非零整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期，若数列满足，如（），当数列的周期最小时，该数列的前2016项的和是 A. 672 B. 673 C. 1342 D. 1344 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析:当时,由题设可得,所以（舍去）或,所以,所以,所以数列的前项的和是,没有答案．当时,由题设可得,所以,而,且当时, ,即;当时, ,即（不成立,应舍去）．所以数列的前2016项和的值为,应选D． 考点：周期数列的性质与求和． 【易错点晴】本题以数列的有关知识为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用所学知识的综合问题．求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出这些数的特征和规律,然后再计算出,而,进而利用数列的周期性求出数列的前项和的值为． 3. 已知周期数列满足．若，，则当该数列的周期最小时，数列的前2002项的和是（　　）． A. 2002 B. 1335 C. 1949 D. 1428 【答案】B 【解析】 【详解】设数列的周期为．，． 若．则．得或2． 由得．与或2矛盾．故． 时，由得或． 由得．故或1． 此时，数列分别为1，0，1，1，0，1，…，或1，1，0，1，1，0，…． 故．选B. 4. 若存在正整数T，对于任意正整数n都有成立，则称数列为周期数列，周期为T，已知数列满足：，，关于下列命题： ①当时，； ②若，则数列是周期为3的数列； ③若，则m可以取3个不同的值； ④且，使得数列的周期为6； 其中真命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对于①，当时，易求得：，故①为真；对于②，当时，可求得：，，∴数列是周期为3的数列，故②为真；对于③，由题意得或，∵，∴或， 又或，且，∴或或，故③为真；对于④，当或5时，显然数列不是周期数列，当时，要使得数列的周期为6，必有，即，此时，故④为假命题，应选C． 考点：数列新定义 【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列“周期”性，可以从函数角度进行研究，本题着重从分段函数对应关系，求函数值，以算验证和推导数列周期．数列的周期性是数列的函数性质之一，其解法往往是依题意列出数列的前若干项，从而发现规律找到周期．对于数列新定义问题要做到以下两点1．准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意,从而找到恰当的解决方法． 5. 在数列中，如果存在非零的常数，使得对于任意正整数均成立，那么就