专题05 函数的周期性和对称性-解题模板A-高中数学解题模板

函数的周期性和对称性 【考点综述】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质.在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系.因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法. 【解题方法思维导图预览】 【解题方法】 解题方法模板一：抽象函数的周期性 使用情景：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期 解题模板： 第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； 常见的结论包括： 结论1若对于非零常数m和任意实数x，等式f(x+m)=－f(x)恒成立，则f(x)是周期函数，且2m是它的一个周期. 结论2定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 结论3定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 结论4定义在上的函数，对任意的，若有，(或)(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 结论5定义在上的函数，对任意的，有f(a+x)=f(a－x)且f(b+x)=f(b－x)， (其中a，b是常数，a≠b)则函数y=f(x)是周期函数，2|a－b|是函数的一个周期. 结论6若定义在R上的函数y=f(x)对任意实数x∈R，恒有f(x)=f(a+x)+f(x－a)成立(a≠0)，则f(x)是周期函数，且6|a|是它的一个周期. 结论7若对于非零常数m和任意实数x，等式成立，则f(x)是周期函数，且4m是它的一个周期. 第三步 运用函数的周期性求解问题. 例1.定义域为上的奇函数满足，且，则（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 【答案】C 【解析】 解题模板选择： 本题中所给的函数是一个抽象函数，可以利用递推关系确定周期性，故选取解题方法模板一抽象函数的周期性进行解答. 解题模板应用： 第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 由可得 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； 据此可得函数的周期为4； 第三步 运用函数的周期性求解问题. 由于，故. 故选：C. 【典型例题】 1. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)= - f(x).当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x2. （1）求证:f(x)是周期函数; （2）当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式; （3）求f(0)+f（1）+f（2）+…+f(2015)的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）f(x)=x2-6x+8；（3）0. 【解析】 【分析】（1）由已知，取为证得结论； （2）求出，时的函数解析式，又当，时，，，再结合周期函数求得，时的函数解析式； （3）求出，，，，利用周期性得答案． 【详解】解:（1）证明：， ． 是周期为4的周期函数． （2）当，时，，， 由已知得． 又是奇函数，， ． 又当，时，，， ． 又是周期为4的周期函数． ． 当，时，． （3） ，，，． 又是周期为4的周期函数， ． ． 【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的解析式的求法，周期的求法函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于中档题． 2. 定义在R上的函数满足，，，求.（提示：注意的周期性） 【答案】 【解析】 【分析】根据，证得函数是周期为的周期函数，根据周期性化简，由此求得的值. 【详解】， 两式相减得， 是周期为3的周期函数于是. 【点睛】本小题主要考查抽象函数周期性，考查根据函数的周期性求函数值，属于基础题. 3. 已知是定义在上的函数，满足． （1）证明：2是函数的周期； （2）当，时，，求在，时的解析式，并写出在，时的解析式； （3）对于（2）中的函数，若关于的方程恰好有20个解，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）当，时，． 当，时，， （3）. 【解析】 【分析】（1）令取代入化简后，由函数周期性的定义即可证明结论； （2）由，得，，求出代入化简后求出，即可求出一个周期，上的解析式，利用函数的周期性求出在，时的解析式； （3）由（2）和函数的周期性画出的图象，将方程根的问题转化为图象的交点问题，根据图象和条件对分类讨论，分别结合图象和条件列出不等式组求出的取值范围． 【详解】证明：（1）因为，令取得， 所以， 所以，2是函数的周期． 解：（2）当，时，，，则， 又，即，解得． 所以，当，时，． 所以， 因为的周期为2，所以当，时， ， （3）由（2）作出函数的图象，则方程解的个数： 就是函数的图象与直线的交点个数． 若，则都是方程的解， 不合题意． 若，则是方程的解． 要使方程恰好有20个解，在