专题04 函数的奇偶性解题模板-高中数学解题模板

函数的奇偶性 【考点综述】 函数的奇偶性是函数的一个重要性质，正确掌握函数奇偶性的判断、运用奇偶性来判断函数的单调性和作用，是学生学习函数的一个重要内容．一些数学选择题、填空题、计算题都会经常遇到函数的奇偶性问题，如何快速、巧妙地判断函数的奇偶性显得尤为重要． 【解题方法思维导图预览】 【解题方法】 解题方法模板一：基本方法判定函数的奇偶性 使用情景：函数表达式比较简单，定义域也容易求解． 解题模板： 第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第三步 得出结论． 例1 判定下列函数的奇偶性： （1） （2）． （3）； （4）； 【答案】（1）奇函数； （2）偶函数； （3）既是奇函数也是偶函数； （4）既不是奇函数也不是偶函数． 解析】 解题模板选择： 本题中所给的函数解析式比较简单，故选取解题方法模板一基本方法判定函数的奇偶性进行解答． 解题模板应用： （1）第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 函数的定义域要求真数大于0，即，解得， 函数的定义域． 函数的定义域关于原点对称， 第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； ， 第三步 得出结论． 所以函数为奇函数． （2）第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 由题意可得，所以且， 所以，函数的定义域为，关于原点对称， 第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 又， 第三步 得出结论． 所以函数为偶函数． （3）第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 由 得x2＝1，即x＝±1． 因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 又f（1）＝f(－1)＝－f(－1)＝0， 第三步 得出结论． 所以f（x）既是奇函数又是偶函数． （4）第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 函数f（x）的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 函数的定义域不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数． 【典型例题】 1. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用函数的奇偶性的定义，注意定义域是否关于原点对称，即可得到所求结论． 【详解】C．定义域为定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数； D．，，，定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数； B．，是正比例函数，图象关于原点对称，则为奇函数； A．的定义域为，， 满足，该函数为偶函数； 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，运用定义法解题，还涉及奇偶函数的性质，考查判断能力，属于基础题． 2. 设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可得，再根据奇偶函数的定义依次判断即可. 【详解】是奇函数，是偶函数，， 对于A，，故是奇函数，故A错误； 对于B，，故是偶函数，故B错误； 对于C，，故是奇函数，故C正确； 对于D，，故是偶函数，故D错误. 故选：C. 3. 已知函数，则 A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A 【解析】 【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案. 详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数， 又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数． 故选A. 点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题. 4. 下列函数中，为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域，对称性，偶函数定义进行判断. 【详解】对于A,函数关于对称，函数为非奇非偶函数，故A错误； 对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B错误； 对于C,，则函数是偶函数，满足条件，故C正确； 对于D,由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 【点睛】本题考查偶函数的判断，首先需要考虑对称轴是否关于原点对称，再根据图象是否关于轴对称或利用定义判断. 5. 设函数，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【解析】 【分