专题03 函数的单调性和最值解题模板B-高中数学解题模板

函数的单调性和最值解题模板B 解题方法模板四：图象法 使用情景：图像比较容易画出的函数类型 解题模板： 第一步 通过题目条件画出函数图像； 第二步 从图像中读出函数的单调区间. 例4 求函数的单调区间. 【答案】答案见解析 【解析】 解题模板选择： 本题中所给的函数解析式可以将函数写成分段函数的形式然后绘制函数图像，故选取解题方法模板四图像法进行解答. 解题模板应用： 第一步 通过题目条件画出函数图像； 由题意可得：， 在平面直角坐标系中绘制函数图像如图所示： 第二步，由图像得出函数的单调区间： 结合函数图像，可得函数的单调递增区间为：. 单调递减区间为：. 【名师点睛】函数的同种单调区间之间不用“∪”连接，用“，”隔开. 【典型例题】 1. 函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单调函数的定义直接得到答案 【详解】由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是 故选：C 【点睛】本题考查根据函数图象求函数单调区间.属于基础题 2. 已知,则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式作出的图象，由图象得到的单调性，列出关于的不等式求解出的范围即为不等式解集. 【详解】的图象如下图所示： 由图象可知：在上单调递增， 因为，所以， 所以即，所以解集为：. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的单调性解不等式，着重考查了数形结合思想，难度一般.已知函数的单调性，可将函数值之间的不等关系转变为自变量之间的不等关系，从而求解出相应自变量的取值范围. 3. 已知，函数，记的最小值为，则（ ）． A. 在上是增函数，在上是减函数 B. 在上是减函数，在上是增函数 C. 在上是奇函数 D. 在上是偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，令，分别讨论，或，三种情况，画出对应函数图像，结合图像，即可得出结果. 【详解】函数， 令， ①当时，的图象如图所示，，且在上单调递减，在上单调递增． ②当或时，的图象如图所示，在点或处取得， 根据图形的对称性知，， 且当时，在上单调递减，在上单调递增． 当时，在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值在上是偶函数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查求函数的最值，以及判断函数单调性，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型. 4. 由方程所确定的x,y的函数关系记为,给出如下结论: ①是R上的单调递增函数； ②的图象关于直线对称； ③对于任意恒成立. 其中正确的为___________(写出所有正确结论的序号). 【答案】①③ 【解析】 【分析】 由题设可得，分类讨论后可得其图象，根据图象可判断①、②正确与否，再通过计算，故③正确. 【详解】. 的图象如图所示，所以①正确，②不正确. ， ∴③正确， 故答案为：①③. 【点睛】本题考查含绝对值函数的图象与性质，其中单调性的讨论可根据函数图象的上升与下降，注意意味着函数图象关于点对称，本题属于中档题. 5. 函数，在区间上的增数，则实数t的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得结果. 【详解】解:函数的图像如图. 由图像可知要使函数是区间上的增函数， 则. 故答案为 【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目. 解题方法模板五：抽象函数的单调性 使用情景：题中没有给出具体函数的解析式，只给出函数的性质，需要利用所给的性质证明函数的单调性.解题模板： 第一步 确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意x1，x2∈D，且x1<x2； 第二步 结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性. 例5 已知定义在上的函数满足： ① 对任意，，有. ②当时，. 试判定函数的单调性. 【答案】函数为减函数 【解析】 解题模板选择： 本题中没有给出具体函数的解析式，故选取解题方法模板五抽象函数的单调性进行解答. 解题模板应用： 第一步 确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意x1，x2∈D，且x1<x2； 令，，， 令，，. 则函数是奇函数. 设，则， 第二步 结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性. 上减函数. 【典型例题】 6. 函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③. （1）求的值； （2）求证：在上是单调增函数； （3）若，且，求证：. 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中，，赋值，得到的值； （2）利用单调性的定义，结合赋值法，证明函数的单调性； （3）赋值得，，再用均值不等式可证明得. 【详解】（