专题03 函数的单调性和最值解题模板A-高中数学解题模板

函数的单调性和最值解题模板A 【考点综述】 在函数中，函数的单调性有着十分重要的地位，并且应用广泛，在数学函数学习的过程中，我们学习了几种函数单调性判定的方法，由于在平常数学知识的学习尤其是函数知识的学习中，函数单调性的应用几率非常高，并且这一类题目大多较为抽象，综合性较强，对学生的领悟能力和知识应用能力要求较高，在解题的过程往往难以掌握其中的主旨，对数学知识不能灵活运用，本专题将这些判定方法进行一定的归纳介绍，并对学习中较为常见的习题类型进行示例，对函数单调性知识在实际的解题过程中的应用给出一定的指导. 【解题方法思维导图】 【解题方法】 解题方法模板一：定义法 使用情景：一般函数类型 解题模板： 第一步 取值定大小：设任意，且； 第二步 作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； 第三步 定符号，得出结论. 例1.已知函数利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数. 【答案】证明见解析. 【解析】解题模板选择： 本题中所给的函数解析式是明确确定的，故选取解题方法模板一定义法进行解答. 解题模板应用： 第一步 取值定大小：设任意x1，x2∈D，且x1<x2； ， 任取，设 第二步 作差：f(x1)－f(x2)并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； 第三步 定符号，得出结论. 又 是其定义域R上的增函数. 【典型例题】 1. 已知函数． （1）求证：在上是单调递增函数； （2）若在上的值域是，求a的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 (1）利用函数单调性的定义，设，再将变形，证明差为正即可； (2）)由(1) 在上是单调递增函数，从而在上单调递增，由可求得a的值. 【详解】， 在上是单调递增函数， （2）在上是单调递增函数， 在上单调递增， 所以 . 【点睛】本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查函数单调性的定义及其应用，属于中档题. 2. 是定义在上的函数 （1）用定义证明f (x)在上是增函数； （2）解不等式. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意设x1，x2为内任意两实数，且x1<x2，通过作差法证明即可得证； （2）由题意结合奇函数的定义可得函数为定义在上的奇函数，转化条件为，结合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）证明：设x1，x2为内任意两实数，且x1<x2， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数f (x)在上是增函数； （2）因为， 所以函数为定义在上的奇函数， 由得， 又由（1）可知函数f (x)是定义在的增函数， 所以有，解得， 所以原不等式的解集为. 【点睛】本题考查了函数单调性的证明及应用，考查了函数奇偶性的应用及转化化归思想，合理转化条件、细心计算是解题关键，属于中档题. 3. 已知函数是 定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数在处有定义则有以及计算出的值； （2）利用定义法证明函数的单调性：设未知数，作差，变形，判断正负，下结论； （3）根据单调性和奇偶性将函数值关系转变为自变量间的关系，完成求解即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，， 又.，，. （2）在上为增函数，理由如下. 设，则，，，， 在在上为增函数， （3）， ， 又在在上为递增的奇函数， ， 不等式的解集为. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，难度一般.利用函数的单调性和奇偶性解不等式时，可先通过奇偶性将不等式的形式变形为：，然后再根据单调性得到与的的大小关系，接着即可求解不等式解集. 4. 已知是定义域为的偶函数，且当时，． （1）当时，求函数的表达式； （2）求证：在区间上是减函数，在上是增函数，并写出函数取得最小值时的取值． 【答案】（1）；（2）证明见解析，当时，函数取值最小值. 【解析】 【分析】（1）设，可得，由偶函数的定义可得，进而可求得结果； （2）设，作差，化简变形、因式分解，然后分和两种情况讨论的符号，即可得出题干中的结论，结合单调性与奇偶性可得出函数取值最小值时对应的值. 【详解】（1）当时，，由已知得． 函数是偶函数，； （2）设，则． 当时，，，， ，即，所以，函数在上是减函数； 当时，，，，即，所以，函数在上是增函数． 由函数是偶函数，及单调性知当时，函数取得最小值. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，同时也考查了利用定义证明函数的单调性以及利用函数的基本性质求函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5. 已知函数，试判断函数的单调性，并证明. 【答案】函数在上单调递增,证明见解析. 【解析】 【分析