专题02 常见函数值域或最值的求法解题模板C-高中数学解题模板

常见函数值域或最值的求法解题模板C 解题方法模板九：利用公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 使用情景：函数表达式形如y=|x－a|+|x－b|的类型 解题模板： 第一步 确定所给函数的形式为y=|x－a|+|x－b|的形式 第二步 利用绝对值三角不等式求解函数的最值或值域. 例9 求函数y=|x－1|+|x+5|的值域. 【答案】 【解析】 解题模板选择： 本题中求解y=|x－a|+|x－b|形式函数的值域，故选取解题方法模板九利用公式法进行解答. 解题模板应用： 第一步 确定所给函数的形式为y=|x－a|+|x－b|的形式 函数解析式y=|x－1|+|x+5|中，a=1，b=－5，符合解题模板的样式. 第二步 利用绝对值三角不等式求解函数的最值或值域. 则函数y=|x－1|+|x+5|≤|a|+|b|=6，其值域为[6，+∞). 【名师点睛】不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，是求最大、最小值与证明不等式的常用公式之一，如果能灵活应用，问题的解答就特别简单了. 解题方法模板十：利用基本不等式 使用情景：函数的解析式可以整理变形为的形式，一般为分式函数，且分子或分母部分至少一处含有二次函数的形式 解题模板： 第一步 观察函数解析式的形式，型如或或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 例10 已知，求函数 的最小值. 【答案】1 【解析】 解题模板选择： 本题中函数的解析式为二次函数与一次函数比值的形式，故选取解题方法模板十基本不等式法进行解答. 解题模板应用： 第一步，将函数解析式化成的形式： 因为，所以； 所以； 第二步，利用基本不等式求函数最小值： ， 当且仅当，即时等号成立. 因为在定义域内，所以最小值为1. 【典型例题】 1. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 当时，，再利用为奇函数，可得当时的取值范围，从而可得答案． 【详解】令，， 为奇函数，又当时，， 当时，． 的值域为，，． 故选：D． 【点睛】本题考查基本不等式，着重考查双钩函数的性质，属于基础题． 2. 设函数的最大值是a.若对于任意的恒成立，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由分式函数值域的求法可得，再结合不等式恒成立问题求解即可. 【详解】解：当时，； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上可得，即. 由题意知在上恒成立， 即在上恒成立. 令，， 则， 则 即. 故选：C. 【点睛】本题考查了分式函数值域的求法，重点考查了不等式恒成立问题，属中档题. 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对进行化简得，再通过基本不等式求出的范围，即可得出的值域. 【详解】当时，有， 又因为当时， ，则， 反之当时，，则， 当时，有意义，取并集得：，即， 所以的值域为. 故选:A. 【点睛】本题考查分式函数的值域，运用到基本不等式求得最大最小值和倒数的方法，属于中档题. 4. 函数的值域为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，把已知函数解析式变形，令变形，再由“对勾函数”的单调性求解. 【详解】解：令，， 令，则， 原函数化为， 该函数在上为减函数，在上为增函数， 又当时，，当时，，当时，. ∴函数的值域为， 则函数的值域为. 故选：C. 【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题. 解题方法模板十一：三角换元法 使用情景：所给的函数解析式可以通过适当的变换化为三角函数的问题. 解题模板： 第一步 整理函数的解析式，利用三角函数的性质将原问题转化为三角函数的问题； 第二步 结合三角函数的性质确定函数的最值或值域. 例11 求函数的值域. 【答案】 【解析】 解题模板选择： 本题中所给的函数解析式可以通过适当的变形转化为三角函数求值域的问题，故选取解题方法模板十一三角换元法进行解答. 解题模板应用： 第一步 整理函数的解析式，利用三角函数的性质将原问题转化为三角函数的问题； 所给函数可化为， 令， 则， 第二步 结合三角函数的性质确定函数的值域. ， 即，故函数的值域为. 【名师点睛】三角换元法是一种非常重要的数学思想方法，它在中学数学中有着广泛的应用.一般地，在遇到与圆、椭圆方程或者与之相似的代数式时，经常使用三角换元法，将复杂的代数问题转化为三角问题，从而使问题变得简单明了.掌握了三角代换思想，可以比较顺利地解决一些较难的题目，提高学生的解题效率.一些看似无从下手的题目，巧用三角换元法，往往会达到事半功倍的效果