专题02 常见函数值域或最值的求法解题模板A-高中数学解题模板

常见函数值域或最值的求法 【考点综述】 函数值域是函数概念中三要素之一，是高考中必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求.所以，我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法. 【解题方法思维导图预览】 【解题方法】 解题方法模板一：直接法 使用情景：函数的不等式中含有一些特殊函数，直接观察即可确定函数的值域或最值. 解题模板： 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 例1 求函数的值域. 【答案】(1，3) 【解析】 解题模板选择： 本题中分式的分母部分是一个指数型函数的形式，属于特殊函数，且函数的解析式整体比较简单，故选取解题方法模板一直接法进行解答. 解题模板应用： 第一步 观察函数中的特殊函数； 函数为指数型函数，易得， 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 由，得， 故函数值域为(1，3). 【典型例题】 1. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，再由指数函数性质及二次根式的性质求得值域． 【详解】，，，∴∴. . 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数的值域问题，解题时先确定函数的定义域，然后在定义域内结合函数的性质求得值域． 2. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求得的取值范围，根据不等式的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】因为，所以，因此，函数的值域是. 故选：B. 【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题. 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求得的取值范围，利用不等式的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】由于，所以，，，故的值域为. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查不等式的性质，属于基础题. 4. 函数y=的值域为 A. [–1，+∞） B. [0，+∞） C. （–∞，0] D. （–∞，–1] 【答案】B 【解析】 【分析】由x+1≥0，得x≥–1，在[–1，+∞）上函数y=≥0，进而得到结果. 【详解】由x+1≥0，得x≥–1，在[–1，+∞）上函数y=≥0，∴函数y=的值域为[0，+∞）． 故选B． 【点睛】这个题目考查了函数的值域的求法，关于函数的值域需要注意的有：首先函数值域不能为空集，其次是指的函数值的集合.求函数的值域的问题，最终结果要写成集合或者区间的形式. 5. 已知函数，则f(x)的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求得函数的值域. 【详解】由于，故，故函数的值域为. 故选：C 【点睛】本题考查函数值域的求法，属于基础题. 6. 设函数，则它的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求得的取值范围，结合不等式的基本性质可求得函数的值域. 【详解】由题：，，，所以， 的值域为. 故选：A. 【点睛】本题考查求函数值域，涉及指数函数值域，反比例型函数值域，考查计算能力，属于基础题. 解题方法模板二：配方法 使用情景：函数表达式为二次函数或者换元之后为二次函数的类型，即可使用配方法求函数的值域或最值. 解题模板： 第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 例2 已知函数，求函数y=f(x)的值域. 【答案】[－3，13] 【解析】 解题模板选择： 本题中所给的函数解析式为二次函数的形式，是一个二次函数在给定区间求值域的问题，故选取解题方法模板二配方法进行解答. 解题模板应用： 第一步 将二次函数配方成； 函数的解析式. 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 由二次函数的性质可知： 当x=2时，；当x=－2时，. 因此函数的值域为[－3，13]. 【典型例题】 7. 函数的值域为（ ） A. R B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对根号内配方，求得其范围，开方求得函数的值域. 【详解】∵函数， ∵， 函数的值域为即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复合函数的值域，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题. 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用二次函数的性质即可得出答案. 【详解】， 对称轴为，抛物线开口向上， ， 当时，， 距离对称轴远， 当时，， . 故选：D. 【点睛】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定