专题14 含参不等式的存在性与恒成立问题的求解策略解题模板-高中数学解题模板

含参不等式的存在性与恒成立问题的解题模板 【考点综述】 含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题. 【解题方法思维导图预览】 【解题方法】 解题方法模板一：判别式法 使用情景：含参数的二次不等式 解题模板：第一步 首先将所求问题转化为二次不等式； 第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论； 第三步 得出结论. 解题模板应用： 例1 设，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 解题模板选择： 本题中含参数的二次不等式，故选取解题方法模板一判别式法进行解答. 解题模板应用： 第一步 首先将所求问题转化为二次不等式； 设 则当时，恒成立. 第二步 首先将所求问题转化为二次不等式； 当时，即时，恒成立. 当时，恒成立等价于： 解得. 第三步 得出结论： 综上可得实数的取值范围为. 练习 1. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：因为定义域是，所以对一切实数恒成立，分两种情况讨论即可. 详解：对任意的，有恒成立， 所以或，故，故选A. 点睛：含参数的一元二次不等式的恒成立，需要分清是否是上恒成立，如果是，在确定是一元二次不等式的条件下直接应用判别式来考虑，如果在其他范围上的恒成立，则可以转化为函数的最值或者采用参变分离的方法来求参数的取值范围. 2. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，结合题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由于不等式对一切实数都成立. 当时，可得，解得，不合乎题意； 当时，则，解得. 因此，实数的取值范围为. 故选：C． 【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题. 3. 已知向量满足，与的夹角为，若对一切实数x，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 平方，利用向量的数量积公式，展开整理得，对一切实数x，恒成立，从而有解不等式，即可得出结论. 【详解】解：因为，与的夹角为， 所以． 把两边平方， 整理可得， 所以， 即，即． 故选:C． 【点睛】本题考查向量的模与数量积的关系，将问题等价转化为一元二次不等式恒成立，属于基础题. 4. 若函数y＝ (k为常数)的定义域为R，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】把函数的定义域为，转化为不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解。 【详解】由题意，函数 (k为常数)的定义域为R， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，则满足，即且，解得， 综上可得实数的取值范围是。 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的概念，以及一元二次不等式的恒成立问题，其中解答中把函数的定义域为，转化为一元二次不等式的恒成立问题，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。 5. 已知命题“”是假命题，则实数m的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围 【详解】若命题“”是假命题，则“”为真命题， 显然时，不满足题意， 故只需满足，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在上恒成立求参数的问题，属综合基础题. 解题方法模板二：分离参数法 使用情景：对于变量和参数可分离的不等式 解题模板：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 第二步 先求出含变量一边的式子的最值； 第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论. 解题模板应用： 例2 已知函数，若在函数定义域内恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解题模板选择： 本题中可参变分离，故选取解题方法模板二分离参数法进行解答. 解题模板应用： 第一步，参变分离； 在函数定义域内恒成立， 第二步， 设则 所以易得 第三步，得出结论： 故选D． 练习 6. 若对任意的，不等式