专题13 含参“一元二次不等式”的求解策略解题模板-高中数学解题模板

含参“一元二次不等式”的解题模板 【考点综述】 解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点．常需考虑二次项系数是否为零以及正负、对应二次方程是否有解，对应根的大小，在解题中注意体会蕴含的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题． 【解题方法思维导图预览】 【解题方法】 解题方法模板一：根据二次项系数的符号分类 使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项 解题模板：第一步 直接讨论参数大于0、小于0或者等于0； 第二步 分别求出其对应的不等式的解集； 第三步 得出结论． 解题模板应用： 例1 求不等式的解集 见解析 【解析】 解题模板选择： 本题中参数在一元二次不等式的最高次项，故选取解题方法模板一根据二次项系数的符号分类进行解答． 解题模板应用： 第一步 直接讨论参数大于0、小于0或者等于0； 不等式为，即 第二步 分别求出其对应的不等式的解集； 当时，原不等式的解集为； 当时，方程的根为； 所以当时，； ②当时，， ③当时，， ④当时，， 第三步 得出结论： 综上所述，原不等式解集为①当时，或；②当时， ③当时，；④当时，；⑤当时，原不等式解集为． 练习 1. 已知，，若对任意，或，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得的解集，接着用分类讨论方法解不等式，只要时，即可． 【详解】由得， 因此对任意，或，只要时，即可， ，∴， 或，由得， 当时，，或，∴，，∴满足题意， 当时，，或，∴，，∴， 综上，． 故选：C. 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查含参数的一元二次不等式的解集问题．分类讨论是解决含参数的一元二次不等式的基本方法． 2. 关于的不等式只有一个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 当时，得，不符合题意； 当时，且，解得． 故选C． 点睛：本题考查含参的函数零点问题．由于参数位于二次项系数位置，所以在讨论的过程中要分讨论，本题中由题意，只需讨论即可，然后根据结合题意，利用数轴分析解集区间，满足题意即可． 3. 设，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. {x|x>a} C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集. 【详解】因为，所以等价于， 又因为当时，，所以不等式的解集为：或． 故选：A． 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较. 4. 已知关于的不等式． （1）当时，解上述不等式； （2）当时，解上述关于的不等式. 【答案】（1）；（2）当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或. 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）分情况讨论，当时为一元一次不等式，当和时，均为一元二次不等式，按一元二次不等式的解法求解即可 【详解】（1）当时，代入可得， 解不等式可得， 所以不等式的解集为. （2）关于的不等式． 若， 当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得，由解不等式可得， 当时，化简不等式可得，解不等式可得或， 综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或. 【点睛】此题考查了一元二次不等式的解法，考查含参数的一元二不等式，考查分类讨论的思想，考查了计算能力，属于中档题. 5. 解关于的不等式: 【答案】当时，解集为 ；当 时，解集为或； 当时，解集为或；当 时，解集为； 当 时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 【解析】 【分析】对分情况讨论，即分为；；；；；；七种情况，分别解不等式即可． 【详解】由则 因为，故对分情况讨论 当时，则，所以，不等式的解集为 当 时，由，不等式的解集或 当时，不等式的解集为或 当 时，不等式的解集为 当 时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 【点睛】本题主要考查了含有参数的一元二次不等式的求解，二次项含有参数，需对二次项系数分情况讨论． 解题方法模板二：根据二次不等式所对应方程的根的大小分类 使用情景：一元二次不等式可因式分解类型 解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解； 第二步 比较两根大小关系并根据其大小进行分类讨论； 第三步 得出结论． 解题模板应用： 例2 解关于的不等式（为常数且）．[来源 见解析 【解析】 解题模板选择： 本题中涉及一角以及三边的关系式，适合于利用余弦定理转化，故选取解题方法模板二化边法进行解答． 解题模板应用： 第一步，将所